Реферат: Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах

,

что видно из представления u(x)= u₊ (x)+u_- (x), U(k)=U₊ (k)+U_- (k) и уравнения (6).Перенося все в левую часть, видим, что

,

если так задать функцию L(k).

Мы подошли к сути метода Винера-Хопфа: путем преобразования Фурье свели наше уравнение к алгебраическому, но уже относительно образов функции. Однако в нашем случае, в отличие от §1,неизвестныхфункций в нем две, и обе нам нужны. Грубо говоря, нам позволено найти решение, но оно не будет однозначным, и данный метод работает лишь для определенного вида функций.Пусть мы нашу функцию L(k) можем представить как частное функций L₊ (k),L_- (k),уравнение принимает при этом вид

,

и известно следующее – “плюсовая” часть есть аналитическая функция к.п. в области , “минусовая” часть аналитическая функция в области ,µ <τ₊ , а значит, в полосе (которая непуста )существует единственная общая функция U(k), совпадающая с U₊ ,U_- в соответствующих областях. Если дополнительно задать, что функции L₊ ,L_- растут не быстрее степенной функции kⁿ , то функции можем считать определенными, и приравнять правую и левую часть в общем случае многочлену P_n (k) (это получается, если учесть стремление U₊ ,U_- к нулю по |к|-> ∞.Теперь у нас неопределенности нет, и в общем виде это выглядит так:

Если степень роста функций L есть единица(растут не быстрее линейной функции),то мы имеем для кусков функции L(k) следующее:

,

и в итоговом решении будет присутствовать произвольная константа C.Приведу пример последнего случая с n=0. Пример.

- интегральное уравнение с полубесконечным промежутком и нулевой f для простоты. Решим его м.В.-Х.

Как видим, мы имеем дело с ядром вида exp(-|x|).Найдем его Фурье-образ, и далее, функцию L(k):

- является аналитической в области -1 < Im(k) < 1. Разложим ее как частное двух так:

При 0 < λ < 0.5 условия одновременной аналитичности выполняются в полосе µ < Im(k) < 1, при λ > 0.5 условия выполняются в полосе 0 < Im(k) < 1. Эти выводы получаются из изучения особых точек функций L₊ (k),L_- (k). Далее – обе функции растут на бесконечности к по модулю не быстрее многочленов первой степени. Наш полином в числителе – это константа, полином нулевой степени, иначе не выполняется условие сходимости произведения L₊ U₊ ,L_- U_- .Значит

,

и, применяя обратное преобразование Фурье, находим u₊ (x):

,

что верно для Решение в квадратурах найдено, этот интеграл подлежит простому подсчету. На выходе получим:

Как видим, решение получено с точностью до константы.

1.3 В общем виде

Изложим метод Винера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение

и поставим задачу: найти функции Ψ₁ , Ψ₂ ,удовлетворяющие нашему уравнению в полосе ,стремящихся к нулю при .A,B,C – аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A,B не равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном уже излагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/B как частное функций L₊ ,L_- ,