Реферат: Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах
причем L+ аналитическая в области Im(k) > τ- , L- аналитическая в области Im(k) < τ+ .Подставляя это в уравнение, и приводя к общему знаменателю, получаем:
Теперь, если удается разбить слагаемое, не содержащее Ψ,на два, как
,
что будет верно в некоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем:
- это чуть более общее равенство, чем то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее – из сходимости обоих пси к нулю при стремлении k по модулю к бесконечности, сходимости L+ L- не быстрее многочлена степени n, а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленная из Ψ1 , Ψ2 , мы получаем следующие соотношения:
Рn (k) – многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее – решение будет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ψ1 , Ψ2.
Что осталось выяснить, так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм, обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями.
Лемма1 : Пусть образ F(k) аналитический в полосе 
,F(k) равномерно стремится к 0 при |k|-> ∞ Тогда в этой полосе возможно разбиение функции F как 
,F+ (k) аналитическая в Im(k)>τ- , F- (k) аналитическая в Im(k)<τ+ .
Доказательство: Рассмотрим систему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F(k0 ) – в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd.По формуле Коши расписали в интеграл по контуру.Перейдем к пределу A ->∞,и устремим контур к полосе.
Тогда в пределе получаем
,
где эти части есть
Каждая функция задана в своей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что и требовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует и ограниченность F+ (k),F- (k) в рассматриваемой полосе.
Лемма2: Пусть функция Ф(k) является аналитической и не равной нулю в полосе 
,причем Ф(k) равномерно стремится к 1 при |k|->∞.Тогда 
,где функции Ф+ ,Ф- соответственно аналитические в
и 
Доказательство:
Заметим, что для функции 
выполнены условия леммы1,значит,мы имеем право ее представить суммой F+ , F- , а Ф – произведением: