Реферат: Методы численного моделирования МДП-структур

2h_i [exp(j_k+1 -j_k )-1]

???????:

55

(J_n )_i+1/2,j =

nie(k+1) niek

5[n_k+1 - exp(j_k+1 -j_k )n_k ]; (3.12)

анологичные выражения получаются для других плотностей тока [2].

После введения разностных операторов D_n , D_p [1] разностная схема для уравнения непрерывности запишется в виде:

(**)

(D_n j)n)_k =R(p_k ,n_k ),

(D_p j)n)_k =R(p_k ,n_k ),

3.2.Решение нелинейной алгебраической задачи.

3.2.1Метод установления. После построения разностной схемы получаем систему нелинейных уравнений большой размерности и возникает проблема разработки эффективных методов для её решения. Одним из широко применяемых методов решения систем разностных уравнений, возникающих при дискретизации стационарных нелинейных задач для уравнений в частных производных, является метод установления [4]. Суть его заключается в следующем: задаются некоторые начальные условия, а затем решается нестационарная задача, решение которой при t®¥ стремится к решению исходной стационарной задачи. Поскольку при решении стационарных задач интерес представляет лишь предельное при t®¥ решение нестационарной задачи, то величина шага по времени выбирается только из соображений устойчивости и наибольшей скорости сходимости алгоритма, т.е. величина шага по времени является итерационным параметром, регулирующим сходимость метода. Рассмотрим метод следущий для решения нелинейной системы разностных уравнений (*)-(**) [1]:

nk l +1 -nk l t

(D^hr j ^{l +1} )_k = -p_k ^l +n_k ^l -N_k (3.21)

((D_n j ^{l +1} )n^{l +1} )_k =R(p_k ^l ,n_k ^l ) + , (3.22)

nk l +1 -nk l t

((D_p j ^{l +1} )p^{l +1} )_k =R(p_k ^l ,n_k ^l ) + , (3.23)

где l =0,1,2… -номер итерации, t-итерационный параметр;

n⁰ ,p⁰ -заданные начальные приближения. Таким образом алгоритм следующий:

1.Считаем правую часть известной с предыдущей итерации и решаем систему линейных уравнений (3.21) с соответствующими краевыми условиями.в результате определяем j ^{l +1} .

2.Считаем j ^{l +1} и R(p^l ,n^l ) известными и решаем систему линейных уравнений (3.22) и (3.23) .В результате определяем n^{l +1} ,p^{l +1} .

3.Полагаем l =l +1 и переходим к пункту 1.

Итерации заканчиваются, если изменения j,n и p на двух последовательных итерациях достаточно малы.

Этот метод может быть эффективно использован лишь для приборов с (Nd+Na)<=10¹⁷ см^-3

3.2.2 Другой вариант метода установления .

Отличие от предыдущего метода состоит в том , что в правую часть уравнения Пуассона введена разностная производная потенциала j по времени.

jk l +1 -jk l t

(D^hr j ^{l +1} )_k = -p_k ^l +n_k ^l -N_k +(3.24)

Скорость сходимости этого метода выше чем, метода (3.21)-(3.23), однако этот метод также неэффективен для структур с (Nd+Na)»10²⁰ см^-3 .

3.2.3.Методы линеаризации для решения нелинейной системы разностных уравнений .

Рассмотрим другую группу методов решения нелинейной системы разностных уравнений (*)-(**). Эти методы значительно более эффективны, чем методы установления, и широко применяются в практике расчётов полупроводниковых приборов.

Общая идея, положенная в основу данных методов, заключается в той или иной линеаризации исходной системы уравнений .Впервые метод такого типа был предложен Гуммелем.

Рассматривая задачу (*)-(**), предположим, что нам известно l -е приближение к решению системы: j^l , n^l , p^l .Проведя ряд преобразований [1] получим :

(D^hr j^{l +1} )_k =n_k ^l -p_k ^l -Nd_k +Na_k +(n_k ^l +p_k ^l )(j_k ^{l +1} -j_k ^l ) (3.25)

(D_n j ^{l +1} )n^{l +1} )_k -p_k ^l r(p_k ^l ,n_k ^l )n_k ^{l +1} =-(n_ie ² )_k r(p_k ^l ,n_k ^l ) (3.26)