Реферат: Методы численного моделирования МДП-структур

¶n_h

¶Gk l ¶jh

+å_h=k-1,k,k+1 [ j_h ^l + n_h ^l + p_h ^l ]+

¶Gk l ¶ph

¶Gk l ¶nh

¶Gk l ¶jh

+å_h=k-m,k+m [ j_h ^l + n_h ^l +p_h ^l ]

с соответствующими краевыми условиями.Таким образом , на каждом шаге метода Ньютона необходимо решить линеаризованную систему линейных уравнений (3.32) .После того,как эта система решена ,пологаем l =l +1 и переходим к определению следующего приближения .Достоинством данного алгоритма является высокая (квадратичная ) скорость сходимость .Следует отметить ,что реализация метода Ньютона требует значительно больших затрат оперативной памяти по сравнению с методами 1-3.

3.2.3.1 Итерационные методы решения линеаризованных уравнений

На каждом шаге итерационного процесса в методах линеаризации 1-3 необходимо решить три системы эллиптических разностных уравнений большой размерности. Прямые методы их решения громоздки и требуют больших вычислительных затрат. Поэтому, как правило, используют итерационные методы. Методам решения эллиптических разностных уравнений посвящена обширная литература [4][5]. Рассмотрим наиболее широко применяющиеся методы решения этих уравнений.

Матрицы систем разностных уравнений (3.25), (3.28) и (3.29) (линеаризованное уравнение Пуассона) имеют сильное диаганальное преобладание, и их числа обусловленности (отношение максимального собственного значения матрицы к минимальному) невелики.

Поскольку числа обусловленности невелики, то нахождение решения указанных систем разностных уравнений не вызывает затруднений.Обычно используется метод поточечной верхней релаксации.

Определение решений разностных аналогов уравнений неразрывности для электронов и дырок является значительно более трудной задачей. Коэффициенты этих уравнений зависят от потенциала электрического поля ,который сильно меняется по структуре прибора. Данное обстоятельство приводит к плохой обусловленности (большим числам обусловленности) разностных уравнений. В связи с этим использование методов простой итерации и Зейделя [4][5], скорость сходимости которых обратно пропорциональна числу обусловленности, для решения разностных аналогов уравнений неразрывности требует очень больших вычислительных затрат.

Значительно более высокую скорость сходимости имеют метод верхней релаксации [3], метод переменных направлений и итерационный метод Чебышева [4]. Однако эффективность этих методов в случае плохо обусловленных систем разностных уравнений существенно зависит от выбора специальных итерационных параметров. Оптимальные значения указанных параметров определяются по некоторой априорной информации об исходной матрице разностных уравнений (обычно требуются довольно точные оценки максимального и минимального собственных значений матрицы). Коэффициенты уравнений неразрывности, а значит, и собственные значения матрицы сильно меняются в ходе внешнего итереционного процесса и особенно значительно при изменении краевых условий (приложенных напряжений ). Поэтому вычисление оптимальных значений итерационных параметров длч вышеназванных методов является очень сложной задачей и они редко применяются для решения уравнений неразрывности.

В настоящее время обычно используются различные варианты метода неполной факторизации Н.И.Булеева, релаксационный метод Р.П.Федоренко [6] и метод неполного разложения Холецкого с сопряжёнными градиентами.

Метод неполной факторизации Н.И.Булеева (МНФБ), как показывают численные эксперименты, имеет достаточно высокую скорость сходимости в случае сильно меняющихся коэффициентов разностных уравнений. Точной теории выбора итерационного параметра в этом методе нет. Параметр выбирается на основе численных экспериментов, что является недостатком метода. Следует отметить, что неудачный выбор параметра (слишком большое значение) может првести к расходимости итерационного процесса.

Метод неполного разложения Холецкого с сопряжёнными градиентами (ICCG) [5] разработан для систем уравнений с симметричной положительно определённой матрицей.Данный метод вариационного типа не требует задания априорной информации для определения итерационных параметров ,что является большим достинством метода.

Релаксационный метод Р.П.Федоренко (РМФ) обладает высокой скоростью сходимости ,не зависящей от числа узлов сетки,и не требует задания специальных итерационных параметров.Высокая эффективность этого метода связана с использованием вспомогательных сеток ,содержащих значительно меньшее количество узлов ,чем исходная сетка.Выбор вспомогательных сеток осуществляется на основе качественной информации о характере решения.Автоматизировать ироцедуру построения вспомогательных сеток весьма сложно ,что создаёт определённые трудности при использовании этого метода для расчёта сложных структур.

Приведём расчётные алгоритмы РМФ .

Рассмотрим систему разностных эллиптических уравнений

(Au)_k =-a_k u_k-1 -b_k u_k+1 -c_k u_k-m d-d_k u_k+m +q_k u_k =f_k

РМФ основан на использовании нескольких вспомогательных сеток (в современной практике одной или двух ), содержащих значительно меньшее число узлов, чем исходная основная сетка, для ускорения сходимости. Вначале на основной сетке делается s строчных зейделевских итераций (этот алгоритм будет описан ниже) и в узлах первой

вспомагательной сетки вычисляется невязка :

r_k ¹ =(Au^s )_k -f_k .

затем на первой вспомогательной сетке рассматривается система уравнений

(A₁ u)_k =r_k (3.33)

с однородными граничными условиями.A₁ -разностный оператор, аппроксимирующий исходный дифференциальный оператор на первой вспомагательной сетке. Для (3.33) начиная с u=0 делается s1 строчных зейделевских итераций и в узл?