Реферат: Множина комплексних чисел

Определим действия над упорядоченными парами действительных чисел. Суммой двух упорядоченных пар α= (а, b) и β = (с, d) назовем упорядоченную пару γ = (a+c, b+d):

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (1)

а произведением указанных пар — упорядоченную пару δ = (ас – bd, ad + bc):

(a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc). (2)

Действия сложения и умножения упорядоченных пар действительных чисел определены аксиома­тически.

Для этих действий существуют обратные дей­ствия — вычитание и деление (кроме деления на нуль). Разностью α — β двух упорядоченных пар α = (a, b) и β = (с, d) назовем такую упорядочен­ную пару (х, y), для которой (с, d) + (x, y) = (a, b). Принимая во внимание равенство (1), получаем с + х = a, d + y = b, откуда x = а – c, y = b – d. Разностью α — β упорядоченных пар α = (а, b) и β = (с, d) является упорядоченная пара (а – c, b – d):

(a, b) – (c, d) = (a – c, b – d). (3)

Нулем служит пара 0 = (0, 0). Упорядоченной парой, противоположной для упорядоченной пары α = (а, b) будет, пара - α = ( -а, -b), так как α + (-α) = (а, b) + (-а, -b) = (0,0) = 0.

Частным от деления упорядоченной пары α = (а, b) на упорядоченную пару β = (с, d), где β 0 или с + d 0 (т. е. хотя бы одно из чисел с, d отлично от нуля) должна быть упорядоченная пара (x, y) такая, что (с, d) (x, y) = (а, b). Отсюда на основании равенства (2) получаем cx – dy = a, cy – dx = b. Из этой системы уравнений находим x и y:

x = , y = .

Итак, если β0, то частное α/β двух упорядоченных пар α = (а, b), β = (с, d) существует и определя­ется формулой:

= . (4)

Положив в этой формуле β = α (т. е. c = a, d = b), найдем, что единицей при умножении упорядоченных пар служит упорядоченная пара (1, 0). Полагая α = 1 = (1, 0), из формулы (4) получаем, что при β 0 упорядоченной парой, обратной для β, будет упорядоченная пара

.

Таким образом, построено множество чисел, дей­ствия над которыми определяются по формулам (1) - (4). Это множество чисел называют множест­вом комплексных чисел.

Докажем, что множество комплексных чисел в качестве своего подмножества содержит все дейст­вительные числа. Рассмотрим упорядоченные пары вида (a, 0). Каждой паре (a, 0) поставим в соот­ветствие действительное число а, в результате полу­чим взаимно однозначное соответствие между мно­жеством рассматриваемых упорядоченных пар и множеством всех действительных чисел. Применяя к указанным упорядоченным парам формулы (1) и (2), находим;

(а, 0) + (b, 0) = (а + b, 0); (а, 0) (b, 0) = (ab, 0).

Эти равенства означают, что упорядоченные пары вида (а, 0) складываются и умножаются так же, как действительные числа. Следовательно, множест­во указанных упорядоченных пар действительных чисел, рассматриваемое как подмножество множест­ва комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам не отличается от множества действитель­ных чисел. Это позволяет положить

(а, 0) = а, (5)

т. е. не различать упорядоченную пару (a, 0) дейст­вительных чисел и действительное число a. В част­ности, нуль (0, 0) и единица (1, 0) множества комп­лексных чисел оказываются обычными действитель­ными числами 0 и 1.

Покажем, что среди комплексных чисел содер­жится корень уравнения х+ 1 = 0. Корнем уравне­ния х+ 1 = 0 является такое число, квадрат кото­рого равен действительному числу —1. Это число определяется упорядоченной парой (0, 1). В самом деле, применив формулу (2), получим

(0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1.

Обозначим эту упорядоченную пару через i , т. е. i = (0, 1), тогда

i = - 1, i = , (6)

число ί называют мнимой единицей .

Найдем произведение действительного числа b на упорядоченную пару (0, 1) = ί — мнимую еди­ницу:

bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b), i b = (0, 1)(b, 0) = (0, b). (7)

Если (а, b) - произвольная упорядоченная пара, то из очевидного равенства (а, b) = (a, 0) + (0, b) и формул (5), (7) получаем

(a, b) = a + bi . (8)

Следовательно, комплексное число α = (a, b) мо­жет быть записано в виде a + bi = a + i b, где a и b — действительные числа, ί — мнимая единица, определяемая соотношением (6). Выражение a + bi называют алгебраической формой комплексного числа . Число a называют действительной, число b — мнимой частью комплексного числа a + bi . Обозначая комплексное число a + bi одной буквой α, пишут:

a = Reα, b = Imα,

где Re — начальные буквы латинского слова realis (действительный), Im - начальные буквы латинского слова imaginarius (воображаемый). Кроме указанных обозначений, употребляются также и такие: a = R(α), b = I(α), где (a, b) = a + bi . Числа вида bi называют чисто мнимыми числами или просто мнимыми .

85

Комплексное число a + bi считают равным нулю тогда и только тогда, когда а = 0, b = 0:

. (9)