Реферат: Множина комплексних чисел

Комплексное число a - bi называют сопряжен­ным комплексному числу a + bi . Обозначим число a - bi буквой = a + bi . Числу будет сопряжено число a – (-bi ) = a + bi = α. Вследствие этого числа α = a + bi и = a - bi называют комп­лексно сопряженными числами . Действительные числа и только они сопряжены сами себе. В самом деле, если α = a, где a - действительное число, то из формул (5) и (8) имеем: α = a + 0i = a, = a – 0i = a, т. е. α = .

Например: комплексному числу 3 + 5i сопряжённым будет 3 – 5i ;

комплексному числу 4 - 7i сопряжённым будет 4 + 7i .

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над комплекс­ными числами.

Если даны два комплексных числа α = a + bi и β = c + di , то

α + β = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i ,

α – β = (a + bi ) – (c + di ) = (a – c) + (b – d)i . (11)

Это следует из определения действий сложения и вычитания двух упорядоченных пар действительных чисел (см. формулы (1) и (3)). Мы получили правила сложения и вычитания комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, надо отдельно сложить их действительные части и соответственно мни­мые части; чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, необходимо вычесть соответственно их действительные и мнимые части.

Число – α = – a – bi называют противополож­ным числу α = a + bi . Сумма двух этих чисел равна нулю: - α + α = (- a - bi ) + (a + bi ) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Для получения правила умножения комплексных чисел воспользуемся формулой (6), т. е. тем, что i ² = -1. Учитывая это соотношение, находим (a + bi )( c + di ) = ac + adi + bci + bdi ² = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.

(a + bi )( c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Эта формула соответствует формуле (2), которой определялось умножение упорядоченных пар дей­ствительных чисел.

Отметим, что сумма и произведение двух комп­лексно сопряженных чисел являются действительными числами. В самом деле, если α = a + bi , = a – bi , то α = (a + bi )( a - bi ) = a² – i ² b² = a² + b² , α + = ( a + bi ) + (a - bi ) = (a + a) + (b - b)i = 2a, т.е.

α + = 2a, α = a² + b² . (13)

При делении двух комплексных чисел в алгеб­раической форме следует ожидать, что частное вы­ражается также числом того же вида, т. е. α/β = u + vi , где u, v R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа α = a + bi , β = c + di , причем β ≠ 0, т. е. c² + d² ≠ 0. Послед­нее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются (исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и вто­рое из равенств (13), находим:

.

Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:

, (14)

соответствующей формуле (4).

С помощью полученной формулы для числа β = с + di можно найти обратное ему число β^-1 = 1/β. Полагая в формуле (14) а = 1, b = 0, получаем

.

Эта формула определяет число, обратное данному комплексному числу, отличному от нуля; это число также является комплексным.

Например : (3 + 7i ) + (4 + 2i ) = 7 + 9i ;

(6 + 5i ) – (3 + 8i ) = 3 – 3i ;

(5 – 4i )(8 – 9i ) = 4 – 77i ;

.

Свойства действий

над комплексными числами

Для любых комплексных чисел α = a + bi , β = с + di , γ = e + fi выполняются следую­щие свойства действий сложения и умножения:

1) α + β = β + α – переместительное (коммутатив­ное) свойство сложения;

2) (α + β) + γ = α + (β + γ) – сочетательное (ассоциативное) свойство сложения;

3) αβ = βα – переместительное (комму­тативное) свойство умножения;