Реферат: Множина комплексних чисел

Второе из равенств (15) запишется так: 2uv = - 4, uv =-2; это означает, что соответствующие зна­чения u и v имеют разные знаки. Так как u² = 4, v² = 1, то с учетом равенства uv = -2 находим, что u₁ = 2, v₁ = -1, u₂ = -2, v₂ = 1, т.е. 2 – i и -2 + i – значения квадратного корня из комп­лексного числа 3 – 4i .

Геометрическое изображение комплексного числа

(a,b)

(a,b)

Рис. 1

0

x

y

i

-i

1

-1

?????? ??????????? ????? α = a + bi ?? ????? ?????????? ??? ????? ?? ????????? ? ???????????? a ? b (???. 1). ????? α ???????? аффиксом ???? ?????. ?????????, ????? ??????? ?????????? ??????????? ?????, ???????? комплексной числовой плоскостью . ?????? ?????????, ???????? ????????????? ????? 0, ???????? нулевой точкой . ??? ????? ??????????? ??????????? ????? ?????????????? ????? ???????????? ??????? ??? ???????, ????? ?? ??? ??????? ???????????? ????? ?????? ?????. ??????? ??? ??????? ???????? действительной осью , ??? ??????? ? мнимой осью . ??????????? ??????????? ????? α ? ???????????? ???????, ????????????? ???????????? ?????????????? ???, ??????????????? ??????????? ????? α ? ?α ??????????? ???????????? ??????? ?????.

Комплексные числа и соответствующие им точки комплексной плоскости обозначают буквой z и пишут z = x + i y, где x – действительная часть (x = Rez), y – мнимая часть (y = Imz).

Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексное число z = x + i y изобра­зим точкой z комплексной плоскости; точка z имеет координаты (x, y). Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 2). Модулем комплексного числа z называют длину г радиус-вектора данной точки. Модуль комплексного числа z обозначают через |z|. Следовательно, по определению

r = |z|, |z|0. (17)

Поскольку г = (получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то

|z| = . (18)

y

φ

A

z

- φ

Рис. 2

x

0

z

??? ??????? ???????? ??????? ???????????? ????? z = x + i y ????? ??? ?????????????? ? ?????? ?????. ??????? (18) ????? ??????? ?????????????? ?????: ??? ???????? ????? ?????????? ??????????????? ???????????? ? ???????? |?| ? |y| (??. ???. 2).

z=|z|

???????, ??? ?????? ???????????? ????? ????????? ??????????????? ?????????????? ??????.

Аргументом комплексного числа z = x + i y назы­вают величину угла φ наклона радиус-вектора к положительной полуоси Ox. Аргумент комплексного числа z обозначают так: Argz. При изменении z этот угол может принимать любые действительные значения (как положительные, так и отрицательные; последние отсчитываются по часо­вой стрелке). Если модули двух комплексных чисел равны, а значения угла φ отличаются друг от друга на 2π, или на число, кратное 2π, то точки, соответст­вующие этим комплексным числам, совпадают; комп­лексные числа в этом случае равны между собой. Следовательно, аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π. Аргумент не опре­делен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю: |0| =0. Среди значений аргумента комплексного чи­сла z0 существует одно и только одно значение, за­ключенное между —π, +π, включая последнее значение. Его называют главным значением аргумен­та и обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют следующим соотношениям:

|z|0, -π < argz π, Argz = argz + 2πn (n = 0, 1, 2, …).

Главное значение аргумента положительного действительного числа равно 0, главное значение аргумента действительного отрицательного числа равно π, главное значение аргумента мнимого числа bi (b > 0) равно π/2, главное значение аргумента мнимого числа –bi (b > 0) равно –π/2.

Выразим действительную и мнимую части комп­лексного числа z = x + i y через его модуль и аргу­мент. Пусть точка z изображает число z = x + i y (рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем

x = r cosφ, y = r sinφ, (19)

где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует:

cosφ = , sinφ = , tgφ = .

Например : 1) найдём аргумент числа z = 1 – i . Так как Re z = 1, Im z = -1, то точка z = 1 – i лежит в IV четверти. Поэтому достаточно найти такое решение одного из последних уравнений , которое является углом в IV четверти. Рассмотрим уравнение cosφ = . Находим