Реферат: Множина комплексних чисел

5) (α + β)γ = αγ + βγ – распределительное (дистри­бутивное) свойство умножения относительно сло­жения.

Докажем, например, первое и третье из этих свойств. По определению сложения получаем

α + β = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i ,

β + α = (c + di ) + (a + bi ) = (c + a) + (d + b)i = (a + c) + (b + d)i = α + β,

так как с + a = a + с, d + b = b + d, т. е. для любых действительных чисел выполняется переместительное (коммутативное) свойство сложения. Далее,

αβ = (a + bi )(c + di ) = aс + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i ,

βα = (c + di ) (a + bi ) = сa + cbi + dai + dbi² = (ca - db) + (cb + da)i = (ac - bd) + (ad + bc)i = αβ,

поскольку для любых действительных чисел ac = ca, bd = db, т. е. выполняется перемести­тельное (коммутативное) свойство умножения.

Остальные свойства доказываются аналогично, с учетом соответствующих свойств операций над дей­ствительными числами.

Таким образом, операции над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и опера­ции над действительными числами.

Возведение в степень комплексного числа.

Извлечение корня из комплексного числа

При возведении в степень комплексного числа пользуются формулой бинома Ньютона:

.

С помощью формулы бинома Ньютона получаем

.

В правой части этого равенства заменяют сте­пени мнимой единицы i их значениями и приводят подобные члены. Рассмотрим, как выражаются эти степени. Учитывая формулу i ² = - 1 , получаем i ³ = i ² ∙ i = -1 ∙ i = - i, i⁴ = i³ ∙ i = -i ∙ i = -i ² = 1, i⁵ = i⁴ ∙ i = i, i⁶ = i⁵ ∙ i = i² = - 1, i ⁷ = i ⁶ ∙ i = - i , i ⁸ = i ⁷ ∙ i = - i ² = 1 и т. д. В общем виде полученный результат можно записать так:

i ^{4 k} = 1, i ^{4 k +1} = i , i ^4k+2 = -1, i ^{4 k +3} = - i (k = 0, 1, 2, …).

Например : (3 + 4i )² = 3² + 2 ∙ 3 ∙ 4i + (4i )² = 9 + 24i + 16i ² = 9 + 24i – 16 = -7 + 24i ;

(1 + i )³ = 1 + 3i + 3i ² + i ³ = 1 + 3i – 3 – i = - 2 + 2i .

Переходим к извлечению квадратного корни из комплексного числа a + bi . Квадратным корнем из комплексного числа называют такое комплексное число, квадрат которого равен данному комплексно­му числу. Обозначим это комплексное число через u + vi , т. е.

.

Последнее равенство перепишем в следующем виде:

u² + 2uvi + v² i ² = a + bi , u² – v² + 2uvi = a + bi .

Учитывая определение равенства комплексных чисел (см. (10)), получаем

u² – v² = a, 2uv = b. (15)

Возведем в квадрат обе части каждого из этих равенств, сложим их, преобразуем полученную левую часть и извлечем квадратный корень:

(u² – v² )² + 4u² v² = a² + b² , (u² + v² )² = a² + b² , u² + v² = .

Это уравнение и первое из уравнений (15) дают возможность определить u² и v² :

. (16)

Из первого уравнения находим два значения u, отличающиеся друг от друга только знаком, второе уравнение дает два значения v. Все эти значения будут действительными, поскольку при любых a и b

.

Знаки u и v следует выбирать так, чтобы выполнялось второе из равенств (15). Это дает две возможные комбинации значений u и v, т. е. два числа u₁ + v₁ i , u₂ + v₂ i , отличающиеся знаком.

Следовательно, извлечение квадратного корня из комплексного числа всегда возможно и дает два значения, отличающиеся друг от друга только знаком.