Реферат: Множина комплексних чисел

2) найдём аргумент числа -1- i . Точка -1-i лежит в III четверти. Найдём такое решение уравнения tg φ = , которое является углом в III четверти. Находим

tg φ = 1, φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, …).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число

z = x + i y. (20)

Подставляя сюда выражения для x и y через модуль и аргумент комплексного числа (см. форму­лы (19)), получаем z = r cosφ + i r sinφ, или

z = r (cosφ + i sinφ) (r0). (21)

Запись комплексного числа z в виде (21) называют тригонометрической формой этого числа.

Замечание. Не всякая запись комплексного числа через тригонометрические функции является тригонометрической формой этого числа. Например, запись числа ί в виде

i = cos + i sin, или i = (-1)(cos + i sin)

не является тригонометрической формой числа i : в первом случае у косинуса и синуса разные аргу­менты, во втором - имеется отрицательный множи­тель. Поскольку аргументами комплексного числа i являются числа π/2 + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...) и только они, и |i | = 1, то тригонометрическая форма числа i имеет вид

i = cos ( + 2kπ) + i sin ( + 2kπ) (k – любое целое число).

Очевидно, что

r (cosφ + i sinφ) = r (cos(φ +2kπ) + i sin(φ +2kπ)).

Два комплексных числа, заданных в тригоно­метрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π. Следовательно, если

r₁ (cosφ₁ + i sinφ₁ ) = r₂ (cosφ₂ + i sinφ₂ ), (22)

то

r₁ = r₂ , φ₂ = φ₁ + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...). (23)

Если комплексное число z = x + i y задано в три­гонометрической форме (21), то комплексное число = x – i y записывается в форме

= r (cos(-φ) + i sin(-φ)),

поэтому

|z| = ||, argz = -arg,

т. е. при переходе от числа z к комплексно сопряженному числу модуль не меняется, а аргу­мент изменяет лишь знак (см. рис. 2).

Покажем, как умножать и делить комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Пусть даны два комплексных числа

z₁ = r (cosφ + i sinφ) , z₂ = ρ (cosψ + i sinψ), (24)

где r = |z₁ |, φ = Argz₁ , ρ = |z₂ |, ψ = Argz₂ ^.

Пользуясь правилами действий над комплексны­ми числами в алгебраической форме, находим

z₁ z₂ = r (cosφ + i sinφ) ρ(cosψ + i sinψ) = rρ(cosφcosψ + i cosφsinψ + i sinφcosψ + i ² sinφsinψ ) = rρ(cosφcosψ – sinφsinψ) + i (cosφsinψ + sinφcosψ)),

или

z₁ z₂ = rρ (cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) ). (25)

Из полученной тригонометрической формы произ­ведения двух комплексных чисел следует, что

|z₁ z₂ | = rρ или |z₁