Реферат: Модели систем массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания

Дискретные цепи Маркова. Будем говорить, что задана дискретная цепь Маркова, если для последовательности случайных величин выполняется равенство .

Это означает, что поток случайных величин определяется только вероятностью перехода от предыдущего значения случайной величины к последующему. Зная начальное распределение вероятностей, можно найти распределение на любом шаге. Величины i_n можно интерпретировать как номера состояний некоторой динамической системы с дискретным множеством состояний (типа конечного автомата). Если вероятности переходов не зависят от номера шага, то такая цепь Маркова называется однородной и ее определение задается набором вероятностей .

Для однородной Марковской цепи можно определить вероятности перехода из состояния i в состояние j за m шагов

Цепь Маркова называется неприводимой, если каждое ее состояние может быть достигнуто из любого другого состояния. Состояние i называется поглощающим, если для него p_ii =1.

Состояние называется возвратным, если вероятность попадания в него за конечное число шагов равна единице. В другом случае состояние относится к невозвратным. Возвратное состояние может быть периодическим и апериодическим в зависимости от наличия кратных шагов возврата. Введем вероятности возврата в состояние i через n шагов после ухода из этого состояния:

Они позволяют определить среднее число шагов или, иначе говоря, среднее время возврата:.

Состояние называется возвратным нулевым , если среднее время возвращения в него равно бесконечности, и возвратным ненулевым , если это время конечно. Известны две важные теоремы:

Теорема 1.

Состояния неприводимой цепи Маркова либо все невозвратные, либо все возвратные нулевые, либо все возвратные ненулевые. В случае периодической цепи все состояния имеют один и тот же период.

Вторая теорема рассматривает вероятности достижения состояний в стационарном (то есть не зависящем от начального распределения вероятностей) режиме. Соответствующее распределение вероятностей также называют стационарным. Нахождение стационарного распределения вероятностей достижения состояний одна из основных задач теории телетрафика.

Теорема 2.

Для неприводимой и апериодической цепи Маркова всегда существуют предельные вероятности, не зависящие от начального распределения вероятностей. Более того, имеет место одна из следующих двух возможностей:

А) все состояния цепи невозвратные или все возвратные нулевые, и тогда все предельные вероятности равны нулю и стационарного состояния не существует;

Б) все состояния возвратные ненулевые и тогда существует стационарное распределение вероятностей:

Состояние называется эргодическим , если оно апериодично и возвратно ненулевое. Если все состояния цепи Маркова эргодичны , то вся цепь называется эргодической . Предельные вероятности эргодической цепи Маркова называют вероятностями состояния равновесия, имея в виду, что зависимость от начального распределения вероятностей полностью отсутствует.

Цепь Маркова с конечным числом состояний (конечная цепь), удобно изображать в виде ориентированного графа, называемого диаграммой переходов. Вершины графа ассоциируются с состояниями, а ребра с вероятностями переходов.

Вычисления вероятностей достижения состояний производится прямыми методами или с помощью z-преобразования.

Цепь Маркова.

Введем матрицу вероятностей переходов и вектор-строку вероятностей на шаге n

.

Распределение вероятностей на произвольном шаге тогда будет подчиняться матричному соотношению:

.

Оно позволяет рекуррентно вычислять все вероятности состояний. Для нахождения предельного распределения (стационарного) нужно решить уравнение:

Его можно решать как систему линейных алгебраических уравнений, если цепь конечна.

Для примера (рис. 1) имеем:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--