Реферат: Моделирование линейных непрерывных систем в среде LabVIEW

u_{k - 1} = u_k - Δt f (u_k , x_k , t_{k )} .

Откуда

u_k = u_{k - 1} + Δt f (u_k , x_k , t_{k )} . (5.4)

Искомое значение процесса u_k входит и в левую, и в правую части уравнения, и если не удается найти u_k в явном виде, то приходится использовать приближенные методы решения этого уравнения.

Применим методы Эйлера для расчета переходной характеристики интегрирующей цепи. Передаточная функция интегрирующей цепи:

K (p ) = 1/ (1 + pT ).

Отсюда дифференциальное уравнение в операторной форме:

(pT + 1) y = x

и в канонической форме:

Tdy /dt + y = x .

Перепишем его в виде (1):

dy /dt = (1/T ) (x - y ).

Запишем рекуррентную формулу для прямого метода Эйлера в соответствии с (5.3)

y_k = y_{k - 1} + (Δt /T ) (x_{k - 1} - y_{k - 1} ), (5.5) или y_k = (1 - Δt /T ) y_{k - 1} + Δt /T x_{k - 1} .

Формула для обратного метода Эйлера запишется в соответствии с (4)

y_k = y_{k - 1} + (Δt /T ) (x_k - y_k ).

Так как уравнение линейное, то значение y_k вычисляется в явной форме:

y_k = (y_{k - 1} + (Δt /T ) x_k ) / (1 + Δt /T ). (6)

Методы Эйлера обладают низкой точностью. В более точных методах используются различные способы определения угла наклона экстраполирующей прямой, чтобы она прошла ближе к точному решению. Хорошей точностью обладает метод Рунге-Кутта четвертого порядка, который обычно и используется. Программы для численного решения дифференциальных уравнений имеются практически в любом пакете прикладных программ, в том числе и в LabVIEW.

Для вычислений по формулам (5.5) и (5.6) используем структуру FormulaNode. Внутри этой структуры запишем точное выражение для переходной характеристики:

z = 1 - e^{- i Δt / T} ,

и выражения для переходной характеристики, полученные прямым методом Эйлера:

y= y ₁ + (Δt /T ) (1 - y ₁ )

и обратным методом Эйлера:

v= (v ₁ + (Δt /T )) / (1 + Δt /T )

при нулевых начальных условиях: y (0) = 0, v (0) = 0.

В этих выражениях использованы различные обозначения для выходных переменных и принято x = 1 (t ) = 1, так как t > 0.

На рис.2 показана эта структура. В формулах Δt обозначена как dt .

Рис.2	Рис.3