p ²

(Δt ) ² (z +1)

2 (z - 1) ²

(Δt ) ² z

(z - 1) ²

(Δt ) ^{2 (} z ² + 4z + 1)

6 (z - 1) ²

Видим, что одно и то же аналоговое устройство может описываться отличающимися дискретными передаточными функциями.

В таблице 1 была приведена дискретная передаточная функция интегрирующей цепи (для которой К (р ) = 1/ (1 + рТ )), полученной применением Z -преобразования. Найдем другие варианты дискретной передаточной функции интегрирующей цепи, отличающиеся методами численного интегрирования.

При использовании метода прямоугольников (1) в передаточную функцию K (p ) = 1/ (1 + pT ) вместо р нужно подставить (z - 1) /Δt . Тогда получим

Δt/T z – (1 – Δt /T )

K (z ) = 1/ (1 + (z - 1) T /Δt ) =.

Аналогично можно получить дискретные передаточные функции и для других методов численного интегрирования. Они представлены в таблице 3 Принято обозначение Δt /T = α

Таблица 3

Метод	K (z )
Z -преобразование	α z z - e -α
Метод прямоугольников (1)	α z - (1 - α)
Метод прямоугольников (2)	(α/ (1 + α)) z z - 1/ (1 + α)
Метод трапеций	(α / (2 + α)) (z + 1) z - (2 - α) / (2 + α)

Этим передаточным функциям соответствуют следующие рекуррентные формулы.

Для Z -преобразования

y_k = e^{- α} y_{k - 1} + αx_k . (7)

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (1)

y_k = ( 1 - α) y_{k - 1} + αx_{k - 1} .

Полученная формула совпадает с формулой для прямого метода Эйлера

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (2)

y_k = (1/ (1 + α)) y_{k - 1} + (α/ (1 + α)) x_k . (8)

и по методу трапеций

y_k = ( (2 - α) / (2 + α)) y_{k - 1} + (α/ (2 + α)) (x_k + x_{k - 1} ). (9)

В лабораторной работе производится оценка ошибок цифрового моделирования для каждого из этих методов.

Моделирование линейных замкнутых систем

Нужно быть очень внимательным при выборе интервала дискретизации, когда моделируются замкнутые системы. В этих системах текущее значение входного процесса сравнивается со значением выходного процесса, рассчитанного по предыдущим значениям входного процесса. Это экстраполированное значение не должно значительно отличаться от входного процесса.

В противном случае возникают большие ошибки моделирования, а при большом интервале дискретизации процесс может стать неустойчивым. Выбор интервала дискретизации нужно связывать с полосой пропускания замкнутой системы.

Проводя аналогию с теоремой Котельникова, можно потребовать, чтобы Δf _0,1 Δt = 5 - 10, где Δf _0,1 - полоса пропускания замкнутой системы по уровню 0,1.