Математика / Реферат: Некоторые дополнительные вычислительные методы

Реферат: Некоторые дополнительные вычислительные методы

В разделе Ш, пользуясь формулами, определяем и .

Текущий контроль осуществляется с помощью столбца ∑, над которым производятся те же действия, что и над столбцом свободных членов.


I			3	1	-1	2	6	11
I			-5	1	3	-4	-12	-17
I			2	0	1	1	1	3
I			1	-5	3	3	3	-1
II			3	0.333333	-0.333333	2	2	3.666667
II			-5	2.666667	-0.25	0.25	-0.75	0.5
II			2	-0.666667	2	-1.25	-1.75	-2
II			1	-5.333333	6	2.5	3	4
III	2	1
III	-0.75	-1
III	-1.75	2
III	3	3

Метод Зейделя и условия сходимости

Этот метод представляет собой модификацию метода простой итерации. Его смысл заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения x_1, x₂ , ..., x_i-1 . Пусть дана приведенная линейная система (i = 1, 2, …n). Выберем произвольно начальные приближения корней , стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным x₁ , x₂ , x₃ , ..., x_n . Предположим, что k-е приближение корней известно, тогда в соответствии с идеей метода будем строить (k+1)–е приближение по следующим формулам:

Обычно процесс Зейделя сходится быстрее, чем метод простой итерации. Бывает, что процесс Зейделя сходится, когда простая итерация расходится и т.п. Правда, бывает и наоборот. Во всяком случае, достаточные условия сходимости для метода простой итерации достаточны и для сходимости метода Зейделя. То есть процесс итерации сходится, если выполнено одно из условий

1) или 2) .

Пример. Методом Зейделя решить систему уравнений

Решение. Приведем эту систему к виду, удобному для итерации,

В качестве нулевых приближений корней возьмем: ; ; .

Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:

и т.д.

Результаты вычислений с точностью до четырех знаков помещены в таблице:


0	1,2000	0,0000	0,0000
1	1,2000	1 ,0600	0,9480
2	0,9992	1,0054	0,9991
3	0,9996	1.0001	1,0001
4	1 ,0000	1,0000	1,0000
5	1 ,0000	1,0000	1,0000

Точные значения корней: .

2. Методы решения нелинейных уравнений

Как известно, далеко не всякое уравнение f(x)=0 можно решить точно, т.е. не всегда можно найти число такое что f()≡0. В первую очередь это относится к трансцендентным уравнениям. Кроме того, даже для алгебраических уравнений степени выше четвертой не существуют формулы, выражающей их решения через коэффициенты уравнения при помощи арифметических операций и извлечение корней. Для уравнений третьей и четвертой степени формулы для отыскания корней существуют, но они настолько сложны, что практически не применяются. Поэтому большое значение имеет приближенное вычисление корней уравнения f(x)=0. Для этого существует множество методов некоторые, из которых мы рассмотрим.

Метод хорд

Пусть дано уравнение f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна на интервале

[a, b] и f(a)f(b)<0. Пусть для определенности f(a)<0 и f(b)>0. Разделим отрезок [a, b] в отношении - f(a):f(b). Это даст нам приближенное значение корня x₁ = a + h₁ , где

Далее этот прием применяем к одному из отрезков [a, x₁ ] или [x₁ , b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Аналогично находим второе приближение x₂ и т.д. Геометрически этот способ эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки А[a, f(a)] и B[b, f(b)].