Реферат: Некоторые дополнительные вычислительные методы

x₀ <x₁ <x₂ <…<x_n <x_n+1 <…<ξ<b.

Таким образом, для вычисления корня уравнения имеем две различные вычислительные формулы. За неподвижный конец выбираем тот конец, для которого знак функции f(x) совпадает со знаком второй производной f''(x).

Пример. Найти положительный корень уравнения с точностью до 0,002.

Решение. Прежде всего отделяем корень. Так как и , то искомый корень лежит в интервале . Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как то . Последовательно применяя формулы, будем иметь:

Так как и при имеем , то можно принять:

Таким образом, , где . Заметим, что точный корень уравнения есть .

Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень ξ уравнения f(x)=0, отделен на отрезке [a, b], причем первая и вторая производные f'(x) и f''(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Найдя какое-нибудь n-ое приближение корня , мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Пусть ξ=x_n +h_n , где h_n - величина малая. Отсюда по формуле Тейлора получим: f(x_n + h_n ) ≈ f(x_n )+h_n f¢(x_n )=0. Следовательно, . Подставив полученное выражение в формулу ξ=x_n +h_n , найдем следующее значение корня:

Графическое нахождение корня методом Ньютона (рис. 3).

Если в качестве начального приближения выбрать точку х₀ =В₀ , то процесс быстро сходится. Если же выбрать точку х₀ =А, то х₁ [a, b], и процесс нахождения корня расходится. Рекомендуется: в качестве х₀ выбирать такую точку, где f(x₀ )f''(x₀ )>0.

Пример. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения

с пятью верными знаками.

Решение. Полагая в левой части уравнение получим . Следовательно, искомый корень находится в интервале . Сузим найденный интервал. Так как то . В этом последнем интервале и .Так как и , то можем принять за начальное приближение . Последовательные приближения вычисляем по следующей схеме:

0	-11	3453	-5183	0,7
1	-10,3	134,3	-4234	0,03
2	-10,27	37,8	-4196	0,009
3	-10,261	0,2	-	-

Останавливаясь на , проверяем знак значения . Так как , то, и любое из этих чисел дает искомое приближение.

Метод итерации

Заменим уравнение f(x)=0 эквивалентным x=φ(x). Выберем некоторое начальное приближение x₀ и вычислим дальнейшие приближения по формулам x₁ = φ(x₀ ), x₂ = φ(x₁ ), …, x_n = φ(x_{n -1} ). Если последовательность x_n имеет предел, то итерационный процесс

x_n = φ(x_{n -1} ) (n=1, 2, …) называется сходящимся. Пусть функция φ(x) непрерывна. Переходя к пределу в равенстве x_n = φ(x_{n -1} ), получим

Следовательно, является корнем уравнения x=φ(x) и может быть вычислен по формуле x_n = φ(x_{n -1} ) (n=1, 2, …) с любой точностью. Для данного метода существуют две теоремы:

Теорема 1. Пусть корень уравнения x=φ(x), а также его последовательные приближения x₀ , x_n = φ(x_{n -1} ) (n=1, 2, …) содержатся в интервале [a, b] и на [a, b]. Тогда справедливы утверждения:

1. итерационный процесс x_n = φ(x_{n -1} ) сходится к корню уравнения ;
2. ;
3. .

Следствие 1. Если требуется найти корень с точностью ε, то кончаем итерационный процесс тогда, когда <ε, т.е. когда .

Следствие 2. Так как =φ() и =φ(x _n-1 ), то -x _n = φ()-φ(x _n-1 ). По теореме Лагранжа . Из этого следует, что если φ'(x)>0 на (a, b), то последовательные приближения x_n = φ(x_{n -1} ) (n=1, 2, …) сходятся к корню монотонно; если φ'(x)<0 на (a, b), то последовательные приближения колеблются около корня.

Теорема 2. Если на [a, b], а корень и начальное приближение x₀ находятся на более узком отрезке [α, β], где , то справедливы заключения теоремы 1.

Привести уравнение f(x)=0 к виду x=φ(x) таким образом, чтобы получить сходящийся итерационный процесс, можно различными способами. Рассмотрим два из них:

1) уравнение f(x)=0 равносильно при λ≠0 уравнению λf(x)=0 и уравнению x= λf(x)+x. Обозначим λf(x)+x через φ(x), получим x= φ(x). Параметр λ подберем так, чтобы функция φ'(x)= λf'(x)+1 на [a, b] была по модулю меньше единицы.

2) если , то итерационный процесс расходится. Заменим уравнение x=φ(x) эквивалентным ему уравнением x=ψ(x), где ψ(x) – функция, обратная функции φ(x). Так как , то итерационный процесс x_n =ψ(x_{n -1} ) будет сходящимся.