Реферат: О неопределенных бинарных квадратичных формах

НОД . В остальных случаях форма называется не примитивной.

Определение 10. Пусть - наибольший общий делитель чисел для формы определителя . Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же и (при ) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов называется порядком форм.

Так как и знаки получающихся коэффициентов при не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов.

При формы и порядок называются собственно примитивными, а при и ()- несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными.

Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.

Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.

Доказательство см. [2,п.185].

§2. О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений

Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм.

Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см. [1,2]).

Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме называется форма , которая получается из формы подстановкой , где -некоторое целое число.

Заметим, что при такой подстановке форма собственно эквивалентна форме . Зависимость между соседними формами и можно охарактеризовать так: во-первых, формы и имеют одинаковый дискриминант; во-вторых, последний коэффициент формы является вместе с тем первым коэффициентом формы ; в третьих, сумма их средних коэффициентов делится на .

Аналогичным образом определяется соседняя слева форма к форме .

Из определения соседних форм непосредственно следует

Предложение 1. Соседние формы собственно эквивалентны.

С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть -приведенная форма дискриминанта и для нее является соседней справа; для форма является соседней справа; для форма является соседней справа и т.д. Тогда все формы ,,,…, являются собственно эквивалентными между собой, так и форме .

Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм ,,,,… не все формы могут быть различными между собой. Если предположить, что и совпадают, то формы и будут приведенными соседними слева для одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому и и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду ,,,… обязательно повторится первая форма и если - первая форма в этом ряду, совпадающая с , то все формы ,,,,…, различны между собой.

Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных неопределенных форм ,,,…, называется периодом формы .

Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]).

Предложение 2. Если формы ,,,… представлены следующим образом

, , ,…,, , ,…, то все величины будут иметь одинаковые знаки, причем все будут положительны.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы всегда четно.

Доказательство предложения 3 см. [1,2].

Заметим, что каждая форма , которая содержится в периоде формы будет иметь тот же период, что и .Именно, этот период будет таков:

.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.

Доказательство (см. [2] разд. V, п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают либо они попарно не пересекаются и каждая форма попадет только в один из периодов.

Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом разбиваются на следующие шесть периодов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV.;

V. ;

VI. .

Видим что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.