Реферат: Операторы в вейвлетном базисе

(1.17)

для коэффициентов h_k в (1.11). Заметив, что

(1.18)

и определив функцию y следующим образом:

, (1.19)

где

, k=0,…, L-1 , (1.20)

или преобразование Фурье для y

, (1.21)

где

, (1.22)

можно показать, что при каждом фиксированном масштабе j Î Z вейвлеты

{ y _{j, k} ( x)=2^{- j/2} y(2^{- j} x- k)} _{k Î Z} образуют ортонормальный базис пространства W_j .

Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters, QMF) H и G , где и . Коэффициенты QMFH и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М , и всегда четно.

Выбранный фильтр Н полностью определяет функции j и y и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций j и y почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G , даже если в них используются величины, связанные с j и y .

4. ОПЕРАТОРЫ

Сжатие операторов или, другими словами, представление их в разреженном виде в ортонормированном базисе непосредственно влияет на скорость вычислительных алгоритмов.

Нестандартная форма оператора Т с ядром K( x, y) достигается вычислением следующих выражений:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

4.1 Оператор d / dx в вейвлетном базисе

Нестандартные формы некоторых часто используемых операторов могут быть вычислены явно. Построим нестандартную форму оператора d/ dx . Матричные элементы , , матриц , , и матрицы , где i, l, j Î Z для оператора d/dx легко вычисляются как

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

где

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Кроме того, используя (1.8) и (1.19), имеем

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Таким образом представление d/ dx полностью определяется величинами или, другими словами, отображением d/ dx на подпространство V₀ .

Предложение 4.1 . 1. Если существует интеграл (4.11), тогда коэффициенты , l Î Z в (5.8) удлвлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений:

(4.15)

(4.16)

где

(4.17)