Реферат: Построение математических моделей при решении задач оптимизации

Решение.

Расходы на 1км пути на эксплуатацию парохода состоят из расходов на топливо и других расходов (содержание команды, амортизация). Ясно, что чем быстрее движется пароход, тем больше расход топлива. Остальные расходы от скорости движения не зависят.

Обозначим через S-сумму расходов в час, V- скорость судна

Расходы на 1км выразится формулой S/V

По условию имеем S=KV² +b, где K- коэффициент пропорциональности, b- расходы, кроме расходов на топливо.

Y=S/V Y=(KV² +b)/V=KV+b/V

Надо найти значение V, при котором функция Y=KV+b/V имеет наименьшее значение.

Y¢=K=b/V² Y¢=0

V=Öb/V

Таким образом общая сумма расходов на 1 км. пути будет наименьшей при V=Öb/V.

Значение коэффициентов b и K определяются из опыта эксплуатации парохода.

Задача 10.

Над центром круглого стола радиусом r висит лампа. На какой высоте h следует повесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

Из физики известна формула E=k*sinj/(h² +r² )

sinj=h/Ö(h² +r² )

Для упрощения решения задачи вместо функции

E=k*sinj/(h²⁺ r² )=k*h/(h² +r² )^3/2 возьмем функцию

T=1/k² *E² =h² /(h² +r² ), для упрощения формулы заменим

h² =z

тогда:

T=z/(z+r² )³

T¢= ((z+r² )³ -z*3*(z+r² )² )/ (z+r² )⁶ =(z+r² -3*r)/ ((z+r² )⁴

T¢=0® r² -2*r=0® z=r² /2 h=r/Ö2

Ответ. Освещенность максимальная, если h=r/Ö2

Задача 11.

Нахождение гидравлически наиболее выгодного трапециидального сечения русла.

Из всех сечений русла, представляющих собою равнобедренную трапецию, имеющих одинаковую площадь w и уклон i , найти то, которое будет пропускать наибольший расход Q.

Пояснение:

1. Расход Q –это количество воды, проходящее через поперечное сечение русла в единицу времени

2. Расход Q определяется по формуле: Q=w*cÖr*j

w-площадьсечения

c-коэффициент