Реферат: Построение полуполевых плоскостей

Определение 1.10. Проективная плоскость π является плоскостью трансляций, если она содержит трансляционную прямую.

Определение 1.11. Проективная плоскость, содержащая трансляционную прямую и трансляционную точку, называется полуполевой плоскостью.

1.2. Координатизация проективной плоскости

Пусть Р – конечная проективная плоскость, , т.е. Р содержит точку и столько же прямых. Пусть D – такое множество, состоящее из символов, что , 0 ≠ 1, ∞ .

С помощью D введем координаты для всех точек и прямых проективной плоскости Р.

Выберем 4 точки, образующие невырожденный четырехугольник: O , X , Y , I (рис. 1):

Y

I'

I

А F

O X

Рис. 1

Рассмотрим точки прямых и сопоставим им элементы либо пары элементов множества D.

Точки прямой OI , кроме точки I' .

Каждой точке поставим в соответствие элемент из D :

O 0 O= (0,0),

A a A= (a ,a ),

I 1.

Точки прямой OX =[0,0], кроме точки X .

D= (d ,0).

Точки прямой OY= [0], кроме точки Y .

С =(0,с ).

Точки, не лежащие на прямых OI, OX, OY .

F =(f , g ),

.

Точки прямой XY= [∞].

,

Y= (∞),

X= (0).

Прямые.

Таким образом, мы получили плоскость, где каждая точка и прямая имеет свои координаты (рис. 2).

(∞)

[ b]

[0] ( m)

( b, y)

[ m, k]

(0, k)

( b,0) [0,0] (0)

(0,0) [∞]

Рис. 2

Определим на множестве D тернарную операцию T : точка инцидентна прямой . Далее введем бинарные операции сложения и умножения следующим образом:

· ,

· .