Реферат: Построение полуполевых плоскостей

Рассмотрим случай II.

Для любой матрицы существует матрица

,

здесь А _i – матрицы размерности 2 2 над GF (4).

Рассмотрим изоморфные полуполевые плоскости.

(∞)

[0]

(0, y) [∞]

(0,0)

Рис. 3

Все точки, находящиеся на прямой [0] первой плоскости, имеют вид (0,у ). Под действием изоморфного отображения они должны перейти в точки, лежащие на прямой [0] второй плоскости (так как точка (0,0) фиксируется и точка (∞)– трансляционная) (рис. 3). Следовательно,

.

Таким образом, мы имеем:

,

и .

Из последнего равенства получим:

.

Для θ = 0 имеем:

, .

Следовательно,

,

,

.

Т.к. регулярное множество замкнуто по сложению, то можно сделать замену:

.

Таким образом, мы получаем:

.

Для θ = Е имеем

, .

Для имеем .

Рассмотрим подробнее получившуюся матрицу А :

.

Заметим, что S – изоморфизм :

,

это преобразование – элация с осью [0] и центром (∞). Можно сделать вывод, что достаточно рассматривать изоморфизмы вида

,

где А ₄ – любая невырожденная матрица с элементами из GF (4), – некоторая из R .

Тогда

,

Таким образом, для любой существует : , то есть регулярное множество второй плоскости сопряжено с множеством для некоторой матрицы .

Этот результат уточняет теорему, приведенную в [2].

Теорема 2.3. Плоскости трансляций Г' и Г изоморфны тогда и только тогда, когда R' сопряжено вGL (V) с одним из следующих множеств:

1), гдеl ≠ k;

2), гдеl ≠ r;

3), гдеl, k, r– попарно различные элементыV;