Таку поверхню називають кусочно-гладкою. Ми будемо, крім того, вважати, що прямі, паралельні координатним осям, зустрічають її або у скінченному числі точок, або мають загальним цілий відрізок.

Розглянемо інтеграл

, (3.1)

де через cos(nx), cos(ny), cos(nz) обозначені косінуси кутов, які складені внутрішньою нормаллю до поверхні S з осями координат, а dS – додатній елемент поверхні. користуючись векторними позначеннями, ми можемо вважати P, Q, R компонентами деякого вектора, який позначимо літерою Т. Тоді

P cos(nx) + Q cos(ny) + Rcos(nz) = T_n ,

де T_n – проєкція вектора Т на напрям внутрішньої нормалі.

Класична теорема з інтегрального счислення дозволяє перейти від поверхневого інтегралу (3.1) до об’ємного, расповсюдженого на область D, обмежену гладкою поверхнею S (яка задовольняє всім обмеженням, які було наведено вище). Ми будемо мати:

або у векторних позначеннях

(3.2)

где dv означає диференціал об’єму, а

.

Приведена нами формула справедлива у більш загальних припущеннях відносно S. Зокрема, формула (3.2) має місце для будь-якій кусочно – гладкої поверхні S, яка обмежує деяку область D.

§4 . Існування та єдиність розв’язку

задачі Гурса.

Розглянемо найпростішу задачу з даними на характеристиках

(4.1)

Додаткові умови даються на прямих x = 0 та t = 0, які, як було доведено вище, є характеристиками рівняння (4.1). Будемо вважати, що функції j(x) та y(t) диференцюємі та задовольняють умові спряжіння j(0) = y(0). Інтегруючи послідовно по x та по t рівняння (4.1), отримуємо:

або

(4.2)

Таким чином, для найпростішого рівняння, яке не містить перших похідних та шукаємої функції, розв’язок представляється у явному аналітичному вигляді (4.2). З формули (4.2) безпосередньо слідує єдиність та існування розв’язку поставленої задачі.

Перейдемо до розв’язку лінійного рівняння гіперболічного типу

(4.3)

при додаткових умовах на характеристиках x = 0, t = 0

u(x, 0) = j(x),

u(0, t) = y(t), (4.4)

де j(x) та y(t) задовільнюють вимогам диференцюємості та спряження. Коефіцієнти a, b та c будемо вважати неперервними функціями x та t.

Формула (4.3) показує, що функція u(x, t) задовільнює інтегро-диференційному рівнянню

(4.5)

Для доведення існування та єдиності розв’язку рівняння (4.5) скористаємось методом послідовних наближень. Виберемо в якості нульового наближення функцію

u(x, t) = 0.

Тоді (4.5) дає для послідовних наближень слідуючі вирази:

(4.6)

Зауважимо, що

(4.7)

Доведемо рівномірну збіжність послідовностей

{u_n (x, t)}, , .

Для цього розглянемо різниці

Нехай М – верхня межа абсолютних величин коефіцієнтів a(x, t),

b(x, t), c(x, t) та H – верхня межа абсолютних величин z₀ = u₁ (x, t) та її похідних

|z₀ | < H,

при зміні x та t всередині деякого квадрату (0 £ x £ L, 0 £ t £ L). Побудуємо мажорантні оцінки для функцій Очевидно, що

Припустимо, що мають місце рекурентні оцінки

де К > 0 – деяке стале число, значення якого наведемо нижче. Користуючись ціми оцінками та формулою для (n+1)-го наближення після деяких спрощінь, які посилюють нерівність, маємо: