Реферат: Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
де
K = L + 2.
В правих частинах цих нерівностей з точністю до множників пропорційності стоять загальні члени розкладання функції е2 KLM . Ці оцінки показують, що послідовності функцій
збігаються рівномірно до граничних функцій, котрі ми зазначимо
Переходячи до границі під знаком інтегралу у формулах (4.6) та (4.7), будемо мати:
Звідси випливають рівності
,
які дозволяють встановити, що функція u(x, t) задовільнює інтегро-диференційному рівнянню
(4.5)
а також диференційному рівнянню (4.3), що перевіряється безпосереднім диференціюванням рівняння (4.5) по x та по t. Функція
задовільнює також додатковим умовам.
Доведемо тепер єдиність розв’язку задачі (4.3)-(4.4). Припустимо існування двох розв’язків u1 (x, t) та u2 (x, t). Отримуємо для їх різниці
U(x, t) = u1 (x, t) – u2 (x, t)
однорідне інтегро-диференційне рівняння
Позначаючи далі через H1 верхню межу абсолютних величин
, ,
для 0 £ x £ L, 0 £ t £ L та повторюючи оцінки, які було проведено для функцій zn (x, t), переконуємось у справедливості нерівності
для будь-якого значення n. Звідси і випливає
U(x, t) º 0 або u1 (x, t) º u2 (x, t),
що і доводить єдиність розв’язку задачі Гурса.
§5 . Спряжені диференційні оператори.
Розглянемо лінійний диференційний оператор 2-го порядку
,
де Aij , Bi и C є двічі диференцюємими функціями x1 ,x2 ,…,xn .
Назвем оператор
спряженим з оператором Lu.
Якщо оператор L співпадає з спряженим йому оператором M, то такий оператор називають самоспряженим.
Розглянемо різницю
.
При отриманні цього виразу ми додали суму
,
але вона дорівнює нулю, так що значення виразу не змінилося.
Одже, вираз vLu – uMv являє собою суму частинних похідних по xi від деяких виразів Pi , тобто
,
де
.
Розглянемо тепер деякий n-мірний об’єм W, який обмежений кусочно-гладкою поверхнею S.
Користуючись формулою Остроградського-Гауса (3.2), будемо мати
, (5.1)
де cos(nx1 ), cos(nx2 ),… - направляючі косінуси внутрешньої нормалі до S.