Реферат: Предел и непрерывность функций нескольких переменных

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f ( x ) = f ( x ₁ , …, x_n ) = A имеет предел в точке

x ⁰ = , равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f ( x ) → A (x → x ⁰ )), если она определена на некоторой окрестности точки x ⁰ , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x ⁰ последовательность точек х ^k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x ⁰ .

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x ⁰ предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x ⁰ , за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

(13)

для всех х , удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x ⁰ | < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U ( x ⁰ ) точки x ⁰ такая, что для всех х U ( x ⁰ ) , х ≠ x ⁰ , выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f ( x ) в x ⁰ , то А есть предел функции f ( x ⁰ + h ) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x ⁰ , кроме, быть может, точки x ⁰ ; пусть ω = (ω₁ , ..., ω_п ) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x ⁰ + t ω (0 < t ) образуют выходящий из x ⁰ луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

(0 < t < δ_ω )

от скалярной переменной t , где δ_ω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t )

если он существует, естественно называть пределом f в точке x ⁰ по направлению вектора ω.

Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности x ⁰ , за исключением, быть может, x ⁰ , и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f ( x ) | >N , коль скоро 0 < |x – x ⁰ | < δ.

Можно говорить о пределе f , когда х → ∞:

(14)

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х , для которых |x | > N , функция f определена и имеет место неравенство .

Итак, предел функции f ( x ) = f ( x ₁ , ..., х_п ) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f ( M ) при М → М ₀ , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М ₀ и удовлетворяющих условию | ММ ₀ | < δ, будет иметь место неравенство |f ( M ) – А | < ε.

Предел обозначают В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f ₁ ( M ) и f ₂ ( M ) при М → М ₀ стремятся каждая к конечному пределу, то: