Реферат: Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Р ( x , y ) = х ⁴ – 2х ² у ² + у ⁴

есть пример многочлена от ( x , y ) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Теорема. Пусть функция f ( x , y , z ) непрерывна в точке ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) пространства R ₃ (точек ( x , y , z ) ), а функции

x = φ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v)

непрерывны в точке ( u ₀ , v ₀ ) пространства R ₂ (точек ( u , v ) ). Пусть, кроме того,

x ₀ = φ ( u ₀ , v ₀ ), y ₀ = ψ ( u ₀ , v ₀ ), z ₀ = χ ( u ₀ , v ₀ ) .

Тогда функция F ( u , v ) = f [ φ ( u , v ), ψ ( u , v ), χ ( u , v ) ] непрерывна (по

( u , v ) ) в точке ( u ₀ , v ₀ ) .

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

Теорема. Функция f ( x , y ) , непрерывная в точке (х ₀ , у ₀ ) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х ₀ , у ₀ ) в некоторой окрестности точки (х ₀ , у ₀ ).

По определению функция f ( x ) = f ( x ₁ , ..., х_п ) непрерывна в точке х ⁰ = (х ⁰ ₁ , ..., х ⁰ _п ) , если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х ⁰ , и если предел ее в точке х ⁰ равен ее значению в ней:

(2)

Условие непрерывности f в точке х ⁰ можно записать в эквивалентной форме:

(2')

т.е. функция f ( x ) непрерывна в точке х ⁰ , если непрерывна функция f (х ⁰ + h ) от h в точкеh = 0.

Можно ввести приращение f в точке х ⁰ , соответствующее приращению h = ( h ₁ , ..., h _п ) ,

Δ_h f (х ⁰ ) = f (х ⁰ + h ) – f (х ⁰ )

и на его языке определить непрерывность f в х ⁰ : функция f непрерывна в х ⁰ , если

(2'')

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х ⁰ функций f ( x ) и φ ( x ) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х ⁰ ) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δ_h f (х ⁰ ) называют также полным приращением функции f в точке х ⁰ .

В пространстве R_n точек х = ( x ₁ , ..., х_п ) зададим множество точек G .

По определению х ⁰ = (х ⁰ ₁ , ..., х ⁰ _п ) есть внутренняя точка множества G , если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G .

Множество G R_n называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

х ₁ = φ₁ (t) , ..., х_п = φ_п (t) (a ≤ t ≤ b)

непрерывные на отрезке [a , b ], определяют непрерывную кривую в R_n , соединяющую точки х ¹ = (х ¹ ₁ , ..., х ¹ _п ) и х ² = (х ² ₁ , ..., х ² _п ) , где х ¹ ₁ = φ₁ (а) , ..., х ¹ _п = φ_п (а) , х ² ₁ = φ₁ ( b ) , ..., х ² _п = φ_п ( b ) . Букву t называют параметром кривой.