Реферат: Предел и непрерывность функций нескольких переменных

б)

в)

Пример 1. Найти предел функции:

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx , тогда

Пример 2. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Тогда

Пример 3. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Тогда

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f ( x , y ) непрерывна в точке (х ₀ , у ₀ ), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х ₀ , у ₀ ) и если предел f ( x , y ) в этой точке равен ее значению в ней:

(1)

Условие непрерывности f в точке (х ₀ , у ₀ ) можно записать в эквивалентной форме:

(1')

т.е. функция f непрерывна в точке (х ₀ , у ₀ ), если непрерывна функция f (х ₀ + Δх , у ₀ + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f ( x , y ) в точке ( x , y ) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов

Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f ( x , y )

и на этом языке определить непрерывность f в ( x , y ) : функция f непрерывна в точке ( x , y ) , если

(1'')

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х ₀ , у ₀ ) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х ₀ , у ₀ ) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f ( x , y ) = с от переменных x , y . Она непрерывна по этим переменным, потому что

|f ( x , y ) – f (х ₀ , у ₀ ) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f ( x , y ) = х и f ( x , y ) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от ( x , y ) , и при этом они непрерывны. Например, функция f ( x , y ) = х приводит в соответствие каждой точке ( x , y ) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке ( x , y ) может быть доказана так:

| f (х + Δх , у + Δу) – f ( x , y ) | = |f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.

Если производить над функциями x , y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x , y . На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x , y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек ( x , y ) R ₂ .

Отношение P / Q двух многочленов от ( x , y ) есть рациональная функция от ( x , y ) , очевидно, непрерывная всюду на R ₂ , за исключением точек ( x , y ) , где Q ( x , y ) = 0.

Функция

Р ( x , y ) = х ³ – у ² + х ² у – 4