Реферат: Преобразование Фурье

Kalmiik-forever

Глава I

Преобразование Фурье.

§1. Класс Шварца.

Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.

Определение . Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.

.

Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.

Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают класс Шварца в линейное векторное пространство:

"j,yÎS(R), a, bÎКвыполнено aj+byÎS(R).

Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.

1) Если j(x)ÎS(R),то

2) Если j(x)ÎS(R),то j(x) ограничена на R.

3) Еслиj(x)ÎS(R),тоy(x)=xj(x)ÎS.

4) Если j(x)ÎS(R) и P(x) – многочлен, то P(x)j(x)ÎS.

5) Если j(x)ÎS(R),то .

Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств

.

Докажем свойство 3). Во первых, y=xjÎC^∞ (R). Далее,

.

Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом деле, если P(x)=a₀ +a₁ x+…+a_n xⁿ , то по свойству 3) имеем xⁱ jÎS(R), потому функция P(x)j(x)=a₀ j+a₁ (xj)+a₂ (x² j)+…+a_n (xⁿ j) принадлежит классу Шварца ввиду его линейности.

Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).

§2. Одномерное преобразование Фурье.

Определение. Функция

(1)

называется преобразованием Фурье функции j(x) и обозначается F[j]. Ясно, что не для всякой функции j(x) интеграл (1) сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье.

Если (интеграл Лебега), то будем говорить, что j принадлежит пространству L₁ (R).

Предложение 1. Преобразование Фурье функции j(x) из L₁ (R) определено и ограничено по модулю на действительной оси.

Доказательство следует из равенства и (1):

Следствие. Преобразование Фурье определено для функций jÎS(R).

Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)ÌL₁ (R). Заметим, что если jÎS(R), то по свойству 4) функция (1+x² )jÎS(R) и, следовательно, ограничена, а (1+x² )^-1 ÎL₁ (R). Поэтому функция (1+x² )j(1+x² )^-1 ÎL₁ (R).

§3. Свойства преобразований Фурье функций из S ( R ).

1)

Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком интеграла. Это законно, так как интеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интегралом

сходимость которого вытекает из свойства 3): xj(x)ÎS(R)ÌL₁ (R).

2) Если jÎS(R), то F[j]ÎC^¥ (R).

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--