Реферат: Преобразование Фурье

Теперь утверждение следует из леммы.

Из доказанного предложения вытекает, что преобразование Фурье взаимно-однозначно отображает класс Шварца в себя. Покажем что это отображение “на”. Определим оператор J переводящий функцию j(x) в функцию j(-x). Тогда очевидно равенство F=2pJF^-1 , откуда, умножая справа на FJ/2p и используясь равенством JJ=1, будем иметь , где 1 справа надо понимать как тождественное отображение в S(R). Последнее равенство означает, что любая функция из S(R) есть преобразование Фурье некоторой функции.

§5. Класс Шварца в многомерном случае.

Мультииндексом a=(a₁ ,…,a_n ) будем называть набор из неотрицательных целых чисел. Порядком мультииндекса будем называть число

Глава II

Задача Коши для уравнения теплопроводности.

§ 1. Постановка задачи коши для уравнения теплопроводности.

Требуется найти функцию u ( x , t ) , непрерывную при t 0 и xR и класса C ² при t >0 , удовлетворяющую уравнению

(1)

при t >0 , xR и начальному условию

u(x,0)= j (x) . (2)

Задача (1),(2) имеет, вообще говоря, много решений. Поэтому обычно накладывают дополнительное условие, которому должно удовлетворять решение.

Теорема (Тихонова). Пусть u ( x , t ) – решение задачи (1),(2) с функцией j(x)º0. Пусть " e >0 существует постоянная C >0 такая, что

при всех x Î R и t ³ 0 . Тогда u º 0 .

Из этой теоремы следует, что при среди функций, растущих, грубо говоря, медленнее чем при любом e >0 , не может найтись более одного решения задачи (1),(2).

Эту теорему мы приводим без доказательства, но ниже докажем теорему единственности при более сильных ограничениях.

§2. Формальный поиск решения.

Применим преобразование Фурье

(3)

Выкладки этого пункта будем проделывать, не заботясь об обосновании. Дифференцируя (3) по t, устанавливаем:

Кроме того, по свойству 3) преобразования Фурье

Учитывая (1), имеем

(4)

Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром y , находим

Где g( y) – произвольная функция. Используя (2), определяем g( y) :

§3. Решение задачи Коши с начальной функцией из класса Шварца.

Теорема 2. Если jÎS(R), то формула

(5)

дает решение задачи (1), (2), бесконечно дифференцируемое при t³0.