Реферат: Преобразование Фурье

3)

Доказательство. Очевидно

теперь можно интегрировать по частям

Это и доказывает свойство 3).

Предложение 2. Преобразование Фурье функции из класса Шварца есть снова функция из класса Шварца.

Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем

По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция

лежит в классе Шварца SÌL₁ , и тогда, по предложению пункта 2, функция ограничена некоторой постоянной, которую мы обозначим C_{n , m} . Предложение доказано.

§4. Обратное преобразование Фурье.

Определение . Функция

называется обратным преобразованием Фурье функции j(y) и обозначается F^-1 [j].

Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из S(R) обладает свойствами, аналогичными прямому:

1)

2)

3)

Докажем, что F^-1 [F[j]]=j для любой функции jÎS. Для этого потребуется

Лемма. Пусть непрерывная функция h(y)ÎL₁ (R) имеет почти всюду ограниченную производную. Пусть

такой набор точек, что на интервалах (y_i ,y_{i +1} ) функция h класса C² , i=1,2,…,n. Тогда для всех x, отличных от y_i , i=1,2,…,n+1, справедливо соотношение

Доказательство. Так как h(y)ÎL₁ , то для всякого e>0 найдется такое А, что

при всех t>0. Заметим, что

(3)

Тогда

Второе слагаемое в (4) заменой z= t(x - y) приводится к виду

и, следовательно, стремится к нулю при в силу сходимости интеграла (3). Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемое в (4) также стремится .

Введем обозначение

Если h класса C² в окрестности точки x, то из равенства

следует дифференцируемость функции g(y) в точке y = x. Итак, g(y) – кусочно-диференцируемая функция. Интегрируя по частям, устанавливаем

при Лемма доказана.

Предложение 3. F^-1 [F[j]]=j для любого jÎS(R).

Доказательство.