Реферат: Проектирование траектории перемещения роботов

_{3 i} (0) = ^* _{i 2} , _{3 i} (0) = ^* _{i 2} , _{3 i} (0) = ^* _{i 2} , (4.8.22)

которые в сочетании с формулами (4.8.8) - (4.8.10) дают

C₃₀ = ^* _{i 1} , C₃₁ = ^* _{i 1} τ₃ , C₃₂ =^* _{i 1} τ² ₃ .

Соотношения непрерывности (4. 8.18) дают теперь

C₂₀ + C₂₁ + C₂₂ = ^* _{i 2} - ^* _{i 1} , (4.8.24)

τ₂ ^-1 C₂₁ + 2τ₂ ^-1 C₂₂ + 3τ₂ ^-1 C₂₃ - τ₃ ^-1 C₃₁ = 0, (4.8.25) 2τ₂ ^-2 C₂₂ + 6τ₂ ^-2 C₂₃ - 2τ₃ ^-2 C₃₂ = 0, (4.8.26)

Наконец, на конце участка должны выполняться ограничения:

_{3 i} (1) = ^* _if , _{3 i} (1) = ^* _if , _{3 i} (1) = ^* _if , (4.8.27)

Используя соотношения (4.8.27) и (4. 8.19) — (4.8.21), получаем

C₃₁ + C₃₂ + C₃₃ + C₃₄ = ^* _if - ^* _i2 , (4.8.28)

C₃₁ + 2C₃₂ + 2C₃₃ + 4C₃₄ =^* _if τ₃ , (4.8.29) 2C₃₂ + 6C₃₃ + 12C₃₄ = ^* _if τ² _3, (4.8.31)

Отметим, что, так как в общем случае ^* _{i 1} , ^* _{i 1} , ^* _{i 2} и ^* _{i 2} неизвестны, мы определили в явном виде только пять из 14 неизвестных коэффициентов, которыми являются C₁₀ , C₁₁ , C₁₂ , C₁₃ , C₁₄ , C₂₀ , C₂₁ , C₂₂ , C₂₃ , C₃₀ , C₃₁ , C₃₃ и C₃₄ . Известные коэффициенты – это

(C₁₀ , C₁₁ , C₁₂ , C₂₀ , C₃₀ ) ≡ (^* _{i 0} , ^* _{i 0} τ₁ , ^* _{i 0} τ² ₁ ,^* _{i 1} ,^* _{i 2} ).(4.8.31)

Остальные девять уравнений (4.8.15) - (4.8,17), (4.8.24) - (4.8.26) и (4.8.28) — (4.8.30) могут быть представлены в матричной форме, а именно

Х =

= (4.8.32)

Представляя для простоты уравнение (4.8.32) в компактной форме, получаем

ВС = δ, (4.8.33)

где В — 9Х9-матрица коэффициентов С , а δ — некоторый век- торный массив, относящийся к изменениям углов в сочленениях и их производных по времени, как показано в (4.8.32). Полное решение для С (остальные девять коэффициентов, которые нужно найти) имеет вид

С = В^-1 δ (4.8.33)

Пример 4.8.2

Найти полные решения в явной форме для трех полиномов ₁ (τ), ₂ (τ) и ₃ (τ)

Решение. Можно показать, что выражения для коэффициентов C₁₃ , C₁₄ , C₂₁ , C₂₂ , C₂₃ , C₃₁ , C₃₃ и C₃₄ имеют вид (см. положение А )

C₁₃ = (τ₂ ^-1 τ₃ + 2τ₁ ^-1 τ₃ + 2 + 3τ₁ ^-1 τ₂ )^-1 × {2 δ₁ ^* (4 + 2 τ₂ ^-1 τ₃ + 2τ₁ ^-1 τ₃ + 3τ₁ ^-1 τ₂ ) – δ₂ ^* τ₂ ^-1 τ₁ (3 + τ₂ ^-1 τ₃ ) + 2δ₁

ТРАЕКТОРИЯ ТИПА 3 — 5 — 3

Используя ту же процедуру, что и при выводе соотношений (4.8.41) — (4.8.47), легко показать, что для трех участков траектории можно получить следующие выражения, описывающие движение сочленений:

- для первого участка,

-