Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Производная функция

Поставим своей задачей определить скорость, с кото­рой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные слу­чаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y = f ( x ), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию y = f ( x ), непрерывную на от­резке [а, b ]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+∆x; первое, х, входе всего рассуждения считаем неизменным, ∆x — его приращением. Приращение ∆ x ; ар­гумента обусловливает приращение ∆у функции, причем:

∆y=f(x+∆x)-f(x). (I)

Найдем отношение приращения ∆у функции к прира­щению ∆x аргумента:

∆ у /∆x=(f(x+∆x)-f(x))/ ∆x. (II)

По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке

[x, x+∆x].

Будем теперь неограниченно приближать ∆x к нулю.

Для непрерывной функции f ( x ) стремление ∆x к нулю вызывает стремление к нулю ∆у , отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ∆ x /∆у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).

lim( (f(x+∆x)-f(x))/ ∆x)=f’(x) ∆ x→0

(III)

С физической точки зрения этот предел есть значе­ние скорости изменения функции f ( x ) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функ­ции в точке х.

Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2° . Пусть каждому значению аргумента х соответст­вует определенное значение скорости изменения функции f ( x ). Тогда скорость f '(х) есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функ­ции f ( x ).

Например, производная функция от квадратной функции Q = bt + at ² есть линейная функция Q ' = b + 2 at .

3° . Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится штрих на том месте, где обычно поме­щается показатель степени, или 2) перед обозначением

данной функции ставится символ d/dx.

Если данная функция обозначена буквой у, то ее про­изводная может быть обозначена:

1) у', читать: «производная функции у»,

или

2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс».

Если данная функция обозначена символом f ( x ), то ее производная может быть обозначена:

1) f '(х), читать: «производная функции f ( x ) »,

или же

2) df ( x )/ dx , читать: «дэ эф от икс по дэ икс».

4° . Нахождение производной от данной функции на­зывается дифференцированием данной функции.

Общее правило дифференцирования (нахождения про­изводной) следующее: