Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

4° . Теорема. Если к линии y = f ( x ) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Доказательство. Уг­ловой коэффициент касатель­ной:

tgφ = tg(limα),

так как, по предыдущему, φ = lim α.

Исключая случай φ = π/2 ,

в силу непрерывности тангенса имеем: tg ( limα ) = lim tgα .

Поэтому tg φ = lim tgα .

По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем:

tgα=(f(x+ Δ x) -f (x))/ Δ x

Переходя к пределу при Δ x→0 (точка М при Δ x→ 0 неограниченно приближается к С , а угол α → φ ), имеем:

lim tg α =lim((f(x+ Δ x)-f(x))/ Δ x)=f '(x). Δ x→0 Δ x→0

tgφ=f '(x)

Следовательно, (IV)

Геометрический смысл производной

1° . Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y = f ( x ) имеет определенную производную в точке х, то:

1) в этой точке имеется касательная к графику функции,

2) угловой коэффициент ее равен значению производ­ной f '( x ) в точке х.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отно­шения Δy/Δx. Но отношение Δу/Δx есть тангенс угла секущей СМ (черт.).

lim tgα = tg(limα) Δ x→0 Δ x→0

Δ y/Δ x=tgx (1)

Значит, согласно условию, существует

Из равенства (1) следует:

α =arctg(Δ y/Δ x).

Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:

Но, по условию, существует и равен числу f '(х). Поэтому

lim α = arctg f’(x). Δ x→0

Полагая arctg f '( x)=φ , получаем:

lim α = φ . Δ x→0

lim α = φ . Δ x→0

?????????????, ?????????? ?????? α . ??????, ?????????? ??????, ?????????? ????? ????? С, ???? ??????? ? Ох ????? ????? ?????? ???? ??????????? ? ?????? ????? С[х, f( x)] ? ?? ???????

коэффициент tgφ = f '( x).

2° . Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y = kx + b называется наклоном прямой к оси Ох. На­клоном кривой y = f ( x ) вточке (х₁ , у₁ ) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е. tgφ = f '(х₁ ).

2. Если касательная в точке (х₁ , y ₁ ) кривой y = f ( x ) образует с Ох: а) острый угол φ , то производная f '( x )>0 , так как tgφ >0 (черт.); б) тупой угол φ , то производная f '(х₁ )<0 , так как tgφ <0 (черт.). Если касательная параллельна оси О x (черт.), то угол φ =0 , tg φ=0 и f '(х₁ ) = 0 .