Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Термины "максимум" и "минимум"объединяются в один общий для них термин "экстремум".

Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.

Функция может иметь только максимум, например функция y = 60 x — 2х² (черт. 111), или только минимум, например функция у = 2х+72/ x (черт. 112), или иметь

максимум и минимум, как, например, функция у = х³ — — х² — 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х³ , y = ctgx , y = a^x не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от — ∞ до +∞ первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.

Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с₁ М₁ и с₃ М₂ , а в точке с₀ значение, меньшее минимума c ₂ m ₁ , и c ₄ m ₂ , минимум c ₄ m ₂ больше максимума с₁ М₁ . Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.

Признаки существования экстремума

1° . Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2 δ точки х=с:

1) функция f (х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f ( x ), то ее производная в точке с равна нулю, m . e . f '( c ) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности х= c есть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с — Δ x :, а правой в виде с+ Δ x , где 0< Δ x < δ . Значение функции f ( x ) в точке с есть f ( c ), в левой полуокрестности оно равно f (с — Δ x ), а в правой f ( c + Δ x ). Значения f ( x ) в окрестности 2 δ точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Δ x , причем значение х = с ^- /₊ Δ x неограниченно приближается к числу с, если Δ x стремится к нулю.

По определению максимума функции:

f ( c - Δ x )< f ( c ) и f ( c + Δ x )< f ( c ).

Отсюда:

f ( c -Δ x )- f ( c )<0 иf ( c + Δx)- f (с)<0 .

Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на — Δx и + Δx . Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:

lim ((f(c - Δx )-f(c))/( —Δx )) = f‘(c) и lim ((f(c + Δx )-f(c))/( +Δx )) = f‘(c) . - Δx →0 + Δx →0

( f ( c —Δx)— f (с))/(-Δx))>0 (1); ( f (с + Δx)— f (с)/(+Δx))<0 (2) ??? ????????? (1) ? (2) ????? ???? ? ??? ?? ?????? ??? Δx → 0 , ??? ??? ?? ??????? ??????? f ( x ) ????? ? ????? с ???????????? ????????????:

Из неравенства (1) следует, что f '(с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показы­вает, что f '(с) не может быть положительной. Следовательно,

f ‘( c ) = 0,

что и требовалось доказать.

2° . Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2 δ точки x = с:

1) функция f ( x ) непрерывна,

2) ее производная, f '(х), слева от точки х = с по­ложительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

lim f(c - Δ x) = f(c) иlim f(c + Δ x) = f(c). - Δx →0 + Δx →0

??????????????. ?????? ??????? ?????????? ? ????? c , ??????? ????? f (с) ???? ????? ??????? ??? f ( c — Δx ) ? f ( c +Δx) ??? Δx → 0 (??? ? ? ?????????? ???????, ????? ? ? ??????????? 0 < Δx< δ ) :

Данная функция f ( x ) в левой полуокрестности точки с — возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности — убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения

f ( c —Δx) иf ( c +Δx)

возрастают при стремлении Δx к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x ₁ > x ₂ f ( x₁ )< f ( x₂ ) ).

Другими словами, как f ( c — Δx), так и f ( c +Δx) приближаются к своему пределу f (с) так, что для каждого значения Δx ≠ 0 :

f ( c - Δx) < f ( c ) иf ( c + Δx) < f ( c ).

Но в таком случае f ( c ) есть максимум функции f ( x ) в точке х = с.

3° . Так же можно доказать, что если в окрестности 2 δ точки х = с:

1) функция f ( x ) непрерывна, 2) производная f '( x ) слева от точки х = с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции (черт.).

4° . Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю (1°). Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.

Например, функция у = х³ имеет в точке x =0 производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х³ при всех значениях х, в том числе и при x = 0 , возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f ( x ) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с.

5° . Определение. Значения аргумента х, при которых производная f '(х) равна нулю, называются стационарнымиточками.