Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Знак f ’( x)

Данная

функция

1

- ∞ < x< - 4/3

—

—

+

возрастает

2

-4/3 < x < 2

+

—

—

убывает

3

2 < х < + ∞

+

+

+

возрастает

Следовательно, данная функция возрастает в промежутках

- ∞ < x < -4/3 и 2 < x < + ∞ и убывает в промежутке — 4/3 < х <2 .

График данной функции представлен на черт.

5°.Функция у = х³ (черт.) имеет производную у = 3х² , которая положительна при всяком значении х, отличном от нуля. При х = 0 производная у' = 0 . Функция у = х³ возрастает в промежутке — ∞ <x<+∞ ; x= 0 есть отдельная единственная точка, в которой производная равна нулю, в ней функция возрастает. Действительно, при х = 0 х³ = 0 , а при х < 0 х³ < 0 и при х > 0 х³ > 0.

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

1° . Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка x м, аплощадь у м² , тогда:

y = (60-2 x ) x = 60 x - 2х²

Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2 x > 0 , а 0< x <30 .

Площадь y есть функция x , определим промежутки ее возрастания и убывания:

y ' = 60 - 4 x .

y '>0 , и функция возрастает, когда x <15 ; y <0 , и функция убывает, когда x >15 .

Если ширина х =	0	5	10	15	20	25	30
то площадь y =	0	250	400	450	400	250	0

Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15 ), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 — 2 x = 60 -- 30=30 (м)

2° . Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x ² , чтобы периметр ее был наименьший?

Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/ x м , а периметр:

Y=2(x+36/x)=2x+72/x.

Периметр у есть функция длины x , определенная для всех положительных значений x :

0< x <+∞

Определим промежутки ее возрастания и убы­вания:

y’=2-72/x² =2(x² -36)/x² =2(x-6)(x+6)/x² .

Знак производной определяется знаком разности x -6 . В промежутке

0< x <6 y '<0 , а в промежутке 6< x <+∞ y '>0 .

Периметр убывает в промежутке 0< x <6 и возрастает в промежутке 6< x <+∞ . График (черт.) построим по таблице:

Если х =	→0	3	4	5	6	7	8	→∞
То у =	→∞	30	26	24,4	24	24,3	25	→∞

Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.

Максимум и минимум функции

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.

Определение. 1. Функция f ( x ) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.