Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

2) найти отношение ∆y /∆x , для этого полученное выше равенство разделить на ∆x ;

3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x →0.

Пример. Найти производную функции у = х³ + 1 в любой точке x.

Решение. 1) ∆y = ( x + ∆x)³ + 1 — (х³ + 1).

По выполнении действий:

∆y = З x ² *∆x+З x *∆x ² +∆x ³ ;

2) ∆y/∆x=3 x ² + З x *∆x+∆x ² ;

3) dy/dx = lim(3x² +3x*∆x+∆x ² = 3x² +3x*0+0 = 3x² .

∆x→0

5° . Заметим, что производная линейной функции у= = kx + b есть величина постоянная, равная k .

Действительно, для линейной функции y = kx + b

∆ у = k*∆x ;

∆y/∆x=k;

6°. Производные часто встречаются в технике и есте­ствознании. Примеры производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t , т. е.

υ =ds/dt ;

2) при вращательном дви­жении твердого тела (напри­мер, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его φ есть функция времени t :

φ =f(t);

угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от угла поворота по времени, т. е.

ω=d φ /dt;

3) при охлаждении тела температура Т тела есть функ­ция времени t ,

T=f(t);

скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры Т по времени с, т. е. dT / dt ;

4) теплоемкость С для данной температуры t есть про­изводная от количества теплоты Q по температуре t ,

C=dQ/dt;

5) при нагревании стержня его удлинение ∆ l , как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l = f ( t ) является не линейной, а отношение ∆ l /∆ t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [ t , t +Д t ]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t ,

α= dl / dt

Касательная к кривой

1° . Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и про­ведем через нее прямую СМ, не совпадающую с АВ. Во­образим, что прямая СМ вращается вокруг точки С так, что угол γ между прямыми стремится к нулю. Непо­движная прямая АВ называется в этом случае предельным положением подвижной пря­мой СМ.

2° , Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С , се­кущая СМ при этом вращается вокруг точки С . Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M ' ), существует одна и та же пря­мая СТ — предельное положение секущей СМ.

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.

Точка С называется точкой прикосновения или ка­сания.

3° . Следствие. Угол φ (черт.), образуемым ка­сательной СТ с осью Ох, есть предел угла α, обра­зуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.

Действительно, угол γ между касательной СТ и секущей СМ равен разности α — φ :

α — φ = γ .

По определению касательной, угол γ — бесконечно ма­лая величина, а поэтому