Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках непрерывности функции f ( x ).

3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f ( x ) дифференцируема в промежутке а<х< b , если ее про­изводная f '(х) конечна в каждой точке промежутка.

4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны касательной (черт.). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую.

4° . Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Согласно условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/ f '( x₁ ).

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

1° . Теорема. Если функция y = f ( x ) имеет в точ­ке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Напишем тождество:

Δy=(Δy/Δx)*Δx

так как всегда считаем Δx ≠ 0 . При стремлении Δx к нулю отношение Δy/Δx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Δx ; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Δy/Δx)*Δx есть бес­конечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е.

lim Δy = 0 Δ x→0

Следовательно, данная функция y = f ( x ) непрерывна.

2° , Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:

y = |х|

(черт.) в точке x = 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.

3° . Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.

Впервые отчетливое различие между понятием непре­рывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским.

ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Производная постоянной

Теорема Постоянная функция имеет в любой точке x производную, равную нулю.

Дано: y = c (черт.).

Требуется доказать: с’=0.

lim ( Δ x/ Δ y)=0, т. е. Δ x→0

??????????????: ??? ?????? ???????? x ? ??? ??????? ?????????? Δ x ?????????? ??????? Δ y ????? ????, ????? ????? ???? ? ????????? Δ x /Δ y .

Отсюда

c’=0

Таблица элементарных производных

Функция	Ее производная
xp	px p-1 , pÎR
c (c-const)	0
1/x	-1/x2
____ √x	____ 1/2√x
ex	ex
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos2 x
ctg x	-1/sin2 x
y = up	pu’up-1
ln x	1/x
ax	ax lna, a>0
log a x	1/(x lna), a>0, a¹0
arcsinx	___________ 1/Ö1-x2
arccosx	____________ -1/Ö1-x2
arctg x	1/(1+x2 )
arcctg x	-1/(1+x2 )

Правила дифференцирования

Пусть c – постоянная, f ( x ) и g ( x ) – дифференцируемые функции, тогда

c = 0 ;

(c * f(x))’ = c * (f(x))’;

(f(x) ⁺ g(x))’ = f ‘(x) ⁺ g ‘(x);

(f(x) * g(x))’ = f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x);