|f(x,y) - A|< .

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M₀(x₀,y₀), если

.

Два последних определения фактически повторяют определения предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.

§2. Частные производные

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) называется предел

,

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

;;.

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

=.

? ???????????? XYZ ??????? y = y₀ ????????? ????????? P, ???????????????? ??? OY ? ???????????? ??? ??? ? ????? y₀. ????????? P ???????????? ? ???????? ??????? z = f(x,y), ????? ????????? ????? L, ??? ???????? ?? ??????? 1. ??????? ???? ????? ?????????? XOY ? ??????????? ? ????? L ? ????? ? ???????????? x₀,y₀ ????? ??????? ??????????? ?? x ??????? z = f(x,y) ? ???? ?????. ? ???? ??????? ?????????????? ????? ??????? ???????????.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y.

Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z = f(x,y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x.

Примеры. 1. .

2.

Если частные производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

.

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются z_xx, z_yy, z_xy или . Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная z_xy = (z_x )_y может не быть равной z_yx = (z_y )_x. Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по x и по y. (Рекомендуем читателю самому убедиться в справедливости этой теоремы для функций, рассмотренных в приведенных выше примерах 1 и 2.)

Отметим очень важное отличие функции двух переменных от функции одной переменной. Из существования первых частных производных в точке не следует непрерывность функции в этой точке. Рассмотрим, например, функцию

.

График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат OX и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости XOY, поднятую на 1. Сами эти оси координат также принадлежат графику рассматриваемой функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно также, что в любой окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время как f(0, 0) = 0. Это означает существование разрыва функции в точке (0,0). (Пример взят из книги О.С.Ивашева-Мусатова “Начала математического анализа”).

§3. Дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р₀(х₀,у₀) частные производные f_x(х₀,у₀) и f_у(х₀,у₀). Перейдём от точки Р₀ к точке R₀(x₀+x,y₀+у), придавая переменным х и у в точке Р₀ произвольные приращения x и у, соответственно. При этом функция в точке Р₀ получит приращение

f(х₀,у₀) = f(x₀+x,y₀+y) – f(x₀,y₀) = f(R₀) – f(P₀).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

f(х₀,у₀) = f_x(х₀,у₀)x + f_у(х₀,у₀)у + (x;у) x + (x;у)у, (1)