Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок или (что то же самое) вектор, причем точка M₀(x₀,y₀) является его начальной точкой, а M₁(x₁,y₁)   конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x₁   x₀, а координату по оси , как число, равное y₁   y₀. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой

,

а тангенс угла наклона  вектора к оси OX определяется из формулы tg = b/a (отметим, что зная величину tg , а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол  с точностью до 2 ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде или . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора: и , то скалярным произве­дением этих векторов называется число (  угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

 = a₁b₁ + a₂b₂. (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом функции f(x,y) в точке (x,y)  G называется вектор, который задается формулой

.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них   вектор-градиент функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси , равный .

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по направлению, определяемому углом  наклона к оси OX, в точке M₀(x₀,y₀) может быть вычислена по формуле

. (5)

Здесь    угол между вектором и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что .

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cos  1, и равенство достигается только если  = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cos = 1 нас в данном случае не инте­ресуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

Пример. Требуется найти производную функции по направлению, составляющему угол в 60 с осью OX, в точке (1;3).

Найдем частные производные функции: Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3): . Принимая во внимание равенство , воспользуемся формулой (4):

.

§5. Экстремум функции двух переменных.

Точка M₀(x₀,y₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M₀, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство  f(x,y)< f(x₀,y₀) ( f(x,y)> f(x₀,y₀)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Сформулируем необходимое условие экстремума.Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).