df(x₀,y₀) = f_x(х₀,у₀)x + f_у(х₀,у₀)у. (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно x  и у . Таким образом

df = f_x dх + f_у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

,

а это означает непрерывность функции в точке (х₀,у₀). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р₀Р равна значению функции z в точке P₀,

?? ???? ?₀??=?f(x₀,y₀) (?? ??????? ??? ??????????? ??????????? F ??????? ???, ??? ??? ??????????????? ???????? ??????? ? ?????????? ? ????? P₀ ????????????, ?? ??? ?? ???????????? ?????????????? ??????????? ???? ??????? ? ?????? ? ????? ??????). ???????????? ????? Q₀, S₀ ? R₀ ???????? ???? ????? ?????????????? (x₀,y₀+у); (x₀+x,y₀) ? (x₀+x,y₀+у), ?????? Q₀Q?=?f(Q₀), S₀S?=?f(S₀) ? R₀R?=?f(R₀). ?????????? f(х₀,у₀)???????? ? ????? ?₀ ????? RR₂.

Параллелограмм PQ₁R₁S₁ лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ₂R₂S₂ расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: Q₂Q₁ = f_y(x₀,y₀)y и S₂S₁ = f_x(x₀,y₀)x.

Из легко доказываемого равенства

R₂R₁ = S₂S₁ + Q₂Q₁

и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р₀ равен R₂R₁.

Так как df(x₀,y₀)  f(x₀,y₀), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

§4. Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M₀(x₀,y₀). Зададим произвольный угол  и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

x = x₀ + t cos, y = y₀ + t sin. (1)

Здесь t   параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

(y - y₀)/(x - x₀) = tg

Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M₀(x₀,y₀) и составляющей угол  с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из §1 расстояние между точками M₀(x₀,y₀) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l.

Производной функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) по направлению l называется число

. (2)

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f(x,y) вдоль

????????? ???????????????? ?????? L. ??????? ???? ????? ?????????????? ?????????? ? ??????????? ? ???? ?????? ? ????? M₀(x₀,y₀) ????? ??????????? ??????? ? ???? ????? ?? ??????????? l.

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

. (3)