Математика / Реферат: Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу

Реферат: Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу

. . .

называется временным рядом.

Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x), которая “наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.

Пусть точки с координатами (xi,yi) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a0 и a1 этой прямой:

y = a0 + a1x, (1)

причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (xi, yi).

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле

S2 = (y1 – (a0 + a1x1))2 + (y2 – (a0 + a1x2))2 +...+ (yn – (a0 + a1xn))2 =

.

Обратим внимание на то, что все xi и yi — известные из таблицы числа, а S2 есть функция двух переменных a0 и a1.

S2 = S2(a0,a1)

????? ????????, ??? ?????? ??????? S2 ???????? ???????? ???, ??? ?????????? ?? ???????. ???????????? ?????, ? ??????? ??? ??????? ???????????? ? ????? ????, ???????? ?????? ????????.


Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

, (2)

. (3)

На самом деле для фунуции S2 = S2(a0,a1) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Проверку выполнения достаточных условий предоставляем читателю сделать самому.

Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:

. (4)

Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a0 и a1.

Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Если экспериментальные точки в плоскости группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y = a0 + a1x + a2x2 или y = a0 exp(a1x) с параметрами соответственно a0, a1, a2 и a0, a1, подставить ее в выражение и искать минимум получившейся функции S2 при помощи частных производных по параметрам.

Упражнения

1. Найти частные производные первого порядка от следующих функций:

1)

;

 2)

;
3)

К-во Просмотров: 508
Бесплатно скачать Реферат: Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу