Реферат: Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу

Пусть имеется n+1 переменная x₁, x₂, ..., x_n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x₁, x₂, ..., x_n соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x₁, x₂, ..., x_n называется значением функции f в точке (x₁, x₂, ..., x_n), что записывается в виде формулы y = f(x₁,x₂,..., x_n) или y =y(x₁,x₂,..., x_n).

Переменные x₁, x₂, ..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная y   функцией от n переменных.

Далее будем говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции  z.

????? ????????, ??? ?????? функция двухпеременных, ???? ????? ???? ????? (x,y) ?? ?????????? ????????? D ????????????? ??? ????? ?????????? ? ???????????? ???????????? ?????, ??????? ???????????? f(x,y) ? ?????????? ????????? ??????? f ? ????? (x,y).

Множество D называется областью определения функции.

Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.

Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f(), причем аргументами функции являются координаты вектора .

График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой

поверхности приводится на рисунке 1.

????????, ??? ?????? ?????? ??????? ??????????? ??? ???????? (????????????) ??????? ???? ??????????. ?????????? ?????? ????????? ??????? z=f(x,y), ???????????? ?? ?????-?? 2. ?? ????? M(x,y) ? ????????? X,Y ???????? ??? ???? l₁ ? l₂ , ???????????? ????????? ???????????. ????? ????????, ??? ? ????? M ??????? f ? ??????????? l₁ ??????????, ? ? ??????????? l₂ ???????. ??? ????????, ??? ??? ????? ????? M₁ , ??????? ?? ???? l₁ ?????????? ?????? ? ????? M, ??????????? ??????????? f(M₁)??f(M). ??? ????? ????? M₂ , ??????? ?? ???? l₂ ?????????? ?????? ? ????? M, ??????????? ??????????? f(M₂)??f(M).

Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания.

Можно использовать другой подход. Пусть имеется функция z = f(x,y) c графиком, представляющим собой некоторую поверхность.

?????????? ??????? ??????? ??????? ?????????? z=C (??? ????????? ??????????? ????????? XOY ? ?????????? ??? Z ? ????? z=C ). ???????????? ????? ??????????? ???? ????????? ? ???????????? z = f(x,y) ?? ????????? XOY ? ??????? ??? ?????????? ????? ?????? C ??????? z = f(x,y). ????? ?????? ???????????? ????? ????????? ???? ????? ? ????????? XOY, ??? ??????? ??????????? ????????? f(x,y)?=?C. ???????? ????????? ???????? ????????? C, ????? ???????? ????????? ????? ?????? ??????? f(x,y). ???? ??? ?????? ????? ?????? ??????? ??????????????? ?? ???????? C, ?? ????????? ??????????????? ????? ???????????, ?????????????? ????? ?????? ???????.

В микроэкономике, в предположении что потребитель приобретает лишь два вида товаров: A и B, вводится понятие общей полезности TU, как функции двух аргументов: Q₁ и Q₂ – количеств потребленных товаров A и B, соответственно:

TU = TU(Q₁,Q₂). (1)

Очевидно, что все линии уровня функции TU(Q₁,Q₂) составляют семейство кривых безразличия (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 125).

Пусть в плоскости XOY заданы две точки: M₀(x₀,y₀) и M₁(x₁,y₁). Расстояние  между этими точками рассчитывается по формуле

. (2)

Пусть    некоторое положительное число. -окрестностью V_ точки M₀(x₀,y₀) называется множество всех точек, координаты x,y которых удовлетворяют неравенствам

.

Очевидно, что -окрестность точки M₀(x₀,y₀) представляет собой круг радиуса  с выколотым центром.

Точка M₀(x₀,y₀) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число  , что из условия M(x,y)  V_ (x₀,y₀) следует f(x,y) > f(x₀,y₀).

Точка M₀(x₀,y₀) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число  , что из условия M(x,y)  V_ (x₀,y₀) следует: f(x,y) < f(x₀,y₀).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

,

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--