Реферат: Складність методів вирішення проблеми дискретного логарифмування в групі точок еліптичної кривої
Через те, що їхні координати визначаються послідовним піднесенням у квадрат, простіше всього їх виразити в НБ, у якому їх 
-бітовий запис утворює циклічний код із слів для кожної координати. Такі точки називають помітними. Задача розв’язання 
, таким чином, зводиться до пошуку класу еквівалентності з точністю до циклічного зсуву, що практично не вимагає додаткових обчислень. Неважко переконатися, що для підгрупи 
точок цієї кривої порядку 
коренем рівняння
є значення 
, а класи еквівалентності містять точки
Для точок максимального порядку 
корінь рівняння
дорівнює 
Один із класів еквівалентності точок даного порядку включає точки 
. Їхні координати утворюються послідовним піднесенням у квадрат. Усього є 4 класи еквівалентності точок максимального порядку.
В порівнянні із загальним типом груп 
аномальні бінарні криві поступаються у стійкості в 
раз, що не є катастрофічною втратою. Для полів з розширенням 
втрата складає не більше 4-х біт. Тому з урахуванням високої технологічності такі криві не виключаються із криптографічних застосувань і входять у відомі стандарти. Подібні ж міркування справедливі, якщо як вихідну прийняти криву 
, 
над малим полем 
, після чого ту ж криву розглядати над розширенням 
(при цьому як і раніше 
). Слід Фробеніуса 
визначає порядок кривої над підполем (і розв’язання характеристичного рівняння для скаляра 
), а слід 
- порядок кривої над полем 
. Виникнення класів еквівалентності точок кривої над таким розширенням приводить до втрати складності криптоатаки в 
раз. Крім того, поле є композиційним і містить принаймні підполя 
. Такі криві уразливі стосовно атаки методом спуску Вейля.
Аномальні криві над простим полем 
, 
визначаються як криві з порядком 
й, відповідно, слідом Фробеніуса 
. Такі криві виявилися криптографічно слабкими, тому що порядки групи 
й адитивної групи поля 
рівні, що дозволяє порівняно просто побудувати атаку ізоморфізму, що переводить точки кривої в елементи групи 
. Цей метод уперше був запропонований І. Семаєвим, а також незалежно авторами Т. Сатохом, К. Араки й Н. Смартом. Складність при цій атаці стає поліноміальною, що робить аномальні криві даного типу неприйнятними в криптографії.
5. 
- атака
Під час вивчення властивостей суперсингулярних кривих виявилося, що порядок групи над полем 
ділить порядок мультиплікативної групи розширень 
або 
. Це дозволяє побудувати ізоморфізм між елементами групи E й мультиплікативної групи розширеного поля, після чого розв’язувати більше просту задачу визначення дискретного логарифма в полі. Ця атака ізоморфізму заснована на використанні ²спарювання Вейля² і була запропонована А. Менезисом , Т. Окамото й С. Ванстоном, у зв'язку із чим називається - атакою.
Суперсингулярні криві над полем 
при непарних розширеннях 
мають три класи ізоморфізму, зображених у таблиці 3 з порядками 
, 
, 
.
Таблиця 3 - Порядки суперсингулярних кривих над полем при непарних степенях 
|
Крива |
|
Порядок |
|
|
Непарне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К-во Просмотров: 289
Бесплатно скачать Реферат: Складність методів вирішення проблеми дискретного логарифмування в групі точок еліптичної кривої
|
