Реферат: Способы улучшения цифровых сигналов в условиях ограниченного объема априорной информации

где ; .

Итак, утверждения выполнены. С помощью утверждения последнее уравнение системы (10) приводится к виду где , . Полученное уравнение имеет единственное решение , по которому однозначно определяются значения , где .

Таким образом, система уравнений (5) имеет единственное решение; аналогично доказательство единственности решения для целевых функций вида (6) и (7).

Для нахождения точки наименьшего значения целевых функций (5), (6) и (7) применим метод наискорейшего спуска [4]. Зададим точность , с которой будут найдены значения . В качестве начальной итерации примем , . При каждом зададим величину , присвоив ей значение левой части k-го уравнения систем (10).

Для целевой функции (6), получим:

(11)

Целевая функция (7) сводится к решению системы:

(12)

Кроме того, для целевой функции вида (5) введем величину:

. (13)

Для целевой функции вида (6) – величину:

. (14)

Для целевой функции вида (7) – величину:

. (15)

Если , то в точке функция достигает наименьшего значения. Заметим, что и что тогда и только тогда, когда . В случае функция является квадратичной функцией с положительной второй производной. Решив уравнение , найдем точку минимума

– для целевой функции вида (5):

, (16)

– для целевой функции вида (6):

, (17)

– для целевой функции вида (7):

(18)

Так как в точке производная функции по направлению вектора положительна, то ; следовательно . Произведем коррекцию значений :

, .

После этого проверяем условие

. (19)

Если неравенство (19) выполняется, требуемая точность считается достигнутой, и расчет заканчивается. Тогда , т.е. расстояние между двумя последними итерациями в пространстве не превосходит . В случае невыполнения условия (19) повторяется расчет величин и проверка указанного условия.

Таким образом, вектор оценок итерационно корректируется так, чтобы целевая функция достигла своего наименьшего значения. На некотором шаге итерационного процесса выполнится условие (19), и вычисления прекращаются. Полученный вектор оценок с заданной точностью будет являться точкой наименьшего значения целевой функции при заданных начальных условиях [5].

Также в работе предложено аналитическое решение двухкритериальной целевой функции вида (5). Как установлено ранее, точка минимума функции (5) является единственным решением системы линейных уравнений [2, 3]