Реферат: Сравнения высших степеней

Висновок 1. Обидві частини конгруенції можна помножити на одне й те саме ціле число.

Висновок 2. Обидві частини конгруенції можна підносити до одного і того самого цілого невід'ємного степеня, тобто, якщо a≡b(mod m), то aⁿ ≡bⁿ (mod m), де n — ціле ≥0.

Властивість 4. Обидві чистини конгруенції можна поділити на їх спільний дільник, якщо він є взаємно простий з модулем.

Властивість 5. Обидві частини конгруенції і модуль можна помножити на одне і те саме натуральне число.

Властивість 6. Обидві частини конгруенції і модуль можна поділити на будь-якого їх спільного дільника.

Властивість 7. Якщо конгруенція має місце за кількома модулями, то вона матиме місце і за модулем, що дорівнює їх найменшому спільному кратному.

Властивість 8. Якщо конгруенція має місце за модулем –m,то вона матиме місце і за будь-яким дільником dцього модуля..

Властивість 9. Якщо одна частина конгруенції і модуль діляться на яке-небудь ціле число, то і друга частина конгруенції має ділитись на це число.

Властивість 10. Числа а і b, конгруентні між собою за модулем т, мають з ним одного і того самого найбільшого спільного дільника.

1.2. Класи за даним модулем

Візьмемо деяке натуральне число т; при діленні на т, будь-яких цілих чисел можна дістати тільки т різних невід'ємних остач, а саме: 0, 1,2, ... , т-1. Отже, множина всіх цілих чисел розіб'ється на т класів чисел, що не перетинаються; при цьому числа, які при діленні на т, даватимуть одну і ту саму остачу r (0 ≤ r < т), тобто числа, конгруентні за модулем т, утворюють клас чисел за модулем т.

Із сказаного випливає, що всім числам даного класу відповідає одна і та сама остача r; отже, дістанемо всі числа цього класу, якщо в формі mq+r, де r — стале, припустимо, що q набирає значення всіх цілих чисел.

З означення конгруентності двох чисел а і bза модулем т із щойно сказаного відразу ж випливає таке твердження.

Два цілих числа а і bтоді і тільки тоді належать до одного класу за модулем т, коли вони конгруентні за цим модулем..

Позначимо через C₀ клас чисел, які діляться на т; через C₁ — клас чисел, які при діленні на т дають в остачі 1, і т. д. і нарешті, через C_m-1 — клас чисел, які при діленні на т дають в остачі т-1.

Будь-яке число даного класу називається лишком, або представником цього класу. Отже, якщо число a є представником деякого класу за модулем т, то будь-яке інше число b цього класу задовольняє умову: b≡a(mod m), або b=а + тt, де t — деяке ціле число, тобто, інакше кажучи, b = а + тt є загальний вигляд цілих чисел, які належать до того самого класу, що й а.

2. Конгруенції з невідомою величиною

Як видно з наведеного нижче малюнку, конгруенції в теорії чисел поділяються на конгруенції за простим та за складеним модулями.

Види конгруенцій Рисунок

2.1. Класи розв'язків конгруенції довільного степеня

Припустимо, що т — натуральне число. Конгруенція виду

f (x) ≡ 0(modm), (1)

де f(х)= а₀ х^п + а₁ х^п-1 + . . . + а_n-1 x + a_n , є многочлен степеня n з цілими коефіцієнтами і а₀ ≠ 0 (modm) називається алгебраїчною конгруенцією п-го степеня з одним невідомим x.

Цілі значення х, що задовольняють конгруенцію (1), називаються коренями або розв'язками цієї конгруенції.

Розв'язати конгруенцію — це означає знайти всі значення невідомих, які її задовольняють.

Дві конгруенції з одним невідомим називаються еквівалентними, якщо всякий розв'язок однієї конгруенції є розв’язком іншої.

Теорема 1. Якщо x = x₁ задовольняє конгруенцію (1), то всяке число, яке належить до того самого класу лишків за модулем т , що й число x₁ ,також задовольняє цю конгруенцію, тобто розв'язком буде весь клас чисел

х ≡ х₁ (mod т).

Це твердження безпосередньо випливає з властивостей конгруенцій. Справді, нехай х₂ — будь-яке число, яке належить до того самого класу лишків за модулем т, що й х₁ ; тоді х₂ ≡ x₁ (modm). За умовою х₁ є розв'язок конгруенції (1), тобто має місце тотожна конгруенція f(x₁ ) ≡ 0 (modт), але тоді матиме місце й конгруенція f(x₁ ) ≡ 0 (modт), тобто x₂ також буде розв'язком конгруенції. Оскільки x₂ — будь-яке число класу х ≡ х₁ (modт), то весь цей клас задовольнятиме дану конгруенцію.

Розв'язки конгруенції (1), що належать до одного класу чисел за модулем т, приймають за один розв'язок даної конгруенції. При цьому конгруенція (1) має стільки розв'язків, скільки класів чисел її задовольняють.

Приклад. Конгруенція