Реферат: Сравнения высших степеней

β≠α_i (modp) (i = 1, 2, … , n);

покладаючи тепер в тотожній конгруенції (4) х=β, знайдемо, що

a₀ (β – α₁ )(β – α₂ ) … (β - α_n ) ≡ 0 (mod p), (4′)

але різниці β — α_i за умовою не діляться на р, тобто взаємно прості з р, а в такому разі і їх добуток буде взаємно простим з р. Звідси випливає, що має місце конгруенція (4'), тобто f(β) ≡ 0 (modp), тому а₀ має ділитись на р, що суперечить умові, бо в нас a₀ ≠ 0 (modp).

Слід зауважити, по-перше, що ця теорема не підтверджує, взагалі, наявності розв'язків конгруенції n-го степеня за простим модулем р і, по-друге, для складених модулів вона зовсім несправедлива; наприклад, конгруенція першого степеня 16 x ≡32 (mod 48), де (16, 48) = 16 і 32 ділиться на 16, має шістнадцять розв'язків.

Висновок. Конгруенція

f(х)= а₀ х^п + а₁ х^п-1 + . . . + а_n-1 x + a_n ≡ 0 (modp)

має більш як п- розв'язків тоді і тільки тоді, коли вона тотожна, тобто коли всі її коефіцієнти діляться на р.

Справді, якщо коефіцієнти даної конгруенції діляться на р, то вона задовольняється будь-яким значенням х, тобто вона, тотожна, і число її розв'язків (яке дорівнює р) буде більш як п (бо ми скрізь передбачаємо степінь конгруенції не більший за р — 1).

Якщо а₀ не ділиться на р, то це конгруенція п-го степеня і за теоремою 5 вона має не більш як п розв'язків. Якщо ж а₀ ділиться на р, але a₁ не ділиться на р, то степінь цієї конгруенції дорівнюватиме n — 1 і вона за тією самою теоремою має не більше п — 1, а тому й не більш як п, розв'язків. Так можна продовжувати далі, і якщо тільки не всі коефіцієнти даної конгруенції діляться на р, то число її розв'язків, очевидно, не може перевищувати п.

2.3. Системи конгруенцій

Обмежимося системою конгруенцій:

a₁ x ≡b₁ (mod m₁ ); (a₁ , m₁ ) = 1,

a₂ x ≡b₂ (mod m₂ ); (a₂ , m₂ ) = 1,

………………………… (1)

a_k x ≡b_k (mod m_k ); (a_k , m_k ) = 1,

з одним невідомим, але різними модулями.

Розв'язати яку-небудь систему конгруенцій з одним невідомим— це означає знайти такі цілі значення невідомого х, які задовольняли б усі конгруенції даної системи. Якщо х ≡ α за деяким модулем є розв'язком системи (1), то весь цей клас чисел прийматимемо за один розв'язок. Якщо дана система має хоч би один розв'язок, то вона називається сумісною.

Насамперед, зауважимо, що розв'язуючи окремо кожну з конгруенцій (1), врешті матимемо систему, еквівалентну даній:

x ≡ c₁ (mod m₁ ),

x ≡ c₂ (mod m₂ ),

……………. (2)

x ≡ c_k (mod m_k ).

Отже, досить уміти розв'язувати систему конгруенцій (2).

Неважко показати, що коли система (2) сумісна, то вона має єдиний розв'язок за модулем М, що дорівнює найменшому спільному кратному чисел m₁ , m₂ ,… ,m_k .

2.4. Зведення конгруенцій за складеним модулем до системи конгруенцій за простими модулями

Теорема 1. Якщо m₁ , m₂ , … , т_k — попарно взаємно прості числа, то конгруенція

f(х)= а₀ х^п + а₁ х^п-1 + . . . + а_n-1 x + a_n ≡ 0 (modm₁ m₂ . . . m_k ) (1) еквівалентна системі конгруенцій:

f(x) ≡ 0 (mod m₁ ),