Реферат: Сравнения высших степеней

f(х) ≡ (х — α₁ )f₁ (х) (modр), (2)

де f₁ (х) — многочлен степеня, на одиницю нижчий від степеня многочлена f(x). Старший коефіцієнт многочлена f₁ (x) збігається з старшим коефіцієнтом даного многочлена fix).

Справді, поділимо f(x) на х — α₁ і частку позначимо через f₁ (х), а остачу через r. За теоремою Безу r = f(α₁ ), але

f(α₁ ) ≡ 0 (mod p)

за умовою, тоді конгруенцію

f(x) = (x – α₁ ) f₁ (x) + f(α₁ ) ≡ 0 (mod р)

можна переписати так:

f(x) ≡ (x-α₁ )f₁ (x) (modp).

При цьому кажуть, що f(х) ділиться на х — α₁ за модулем р. Очевидно, що й навпаки: з конгруенції (2) випливає, що f(α₁ ) ≡ 0 (modp) тобто α₁ — корінь конгруенції (1); отже, маємо такий висновок.

Висновок. Конгруенція (1) має корінь х = α₁ тоді і тільки тоді, коли ліва її частина f(x) ділиться на х — α₁ за даним модулем р.

Зауважимо, що теорема 3 і висновок з неї справедливі і для складеного модуля т.

Теорема 4. Якщо α₁ , α₂ , . . , α_k (k ≤n) є різні розв'язки конгруенції (1), то має місце тотожна конгруенція:

f(х) ≡ (х – α₁ ) (х - α₂ ) . . . (х - α_k ) f_k (x) (modp), (3)

де степінь f (х) дорівнює п — k і старші коефіцієнти у f(x) і f_k (x) однакові.

Справді, згідно, з теоремою 3 конгруенція (1) еквівалентна конгруенції

(x - α₁ )f₁ (x) ≡ 0 (modp). (2¹ )

Через те що α₂ є розв'язок конгруенції (1), то, підставляючи його в еквівалентну конгруенцію (2'), дістанемо тотожну конгруенцію:

(α₂ — α₁ )f₁ (α₂ ) ≡ 0 (mod р).

Але добуток двох чи кількох чисел ділиться на просте число р тоді і тільки тоді, коли на р ділиться принаймні один з співмножників. За умовою α₁ і α₂ різні, тобто

α₁ ≠α₂ (modp),

отже, α₂ — α₁ не ділиться на р, а тому f₁ (α₂ ) ділиться на р, тобто f₁ (α₂ ) ≡ 0 (mod p); останнє означає, що α₂ — розв'язок конгруенції f₁ (x)≡0 (mod p). За теоремою 3 дістанемо:

f₁ (х)≡ (x-α₂ )f₂ (x) (modp);

звідки

f(x)≡(x-α₁ )(x-α₂ )f₂ (x) (mod p).

Аналогічно міркуючи, кінець кінцем прийдемо до тотожної конгруенції (3). З самого процесу одержання многочленів f₁ (x), f₂ (x),… f_k (x) видно, що старші коефіцієнти цих многочленів однакові і дорівнюють старшому коефіцієнтові a₀ многочлена f(x).

В и с н о в о к. Якщо конгруенція (1) п-го степеня за простим модулем р (п можна вважати не більшим за р — 1) має п різних розв'язків α₁ , α₂ , . . , α_n , то має місце тотожна конгруенція:

f(x) ≡ а₀ (х — α₁ ) (х — α₂ ) ... (х — α_n ) (modp). (4)

Справді, тут k= п, отже, степінь многочлена f_n (x) дорівнюватиме п-n=0, тобто f_n (х) = а₀ .

2.2.1. Ma к c им a льн e число розв'язків

Теорема 5. Конгруенція п-го степеня за простим модулем не може мати більш як п різних розв'язків.