Реферат: Сравнения высших степеней

………………..

f(x) ≡ 0 (modm_k ).

При цьому, позначаючи через

S₁ , S₂ , . . . , S_k

числа розв'язків окремих конгруенцій (2) за відповідними модулями і через S — число розв'язків конгруенції (1), матимемо:

S= S₁ S₂ . . . S_k .

Перша частина твердження безпосередньо випливає з властивостей 8 і 7, п.1.1. Справді, припустимо α — розв'язок конгруенції (1), тобто

f(α) ≡ 0 (modm₁ m₂ . . . m_k ),

а звідси і поготів

f(α) ≡ 0 (mod т_і ),

тобто α — розв'язок будь-якої конгруенції системи (2).

Навпаки, якщо β — розв'язок системи конгруенцій (2), то матимуть місце тотожні конгруенції:

f(β) ≡ 0 (mod т_і ) (i = 1, 2, … , k).

Але тоді (див. властивість 7, п.1.1) ця конгруенція матиме місце і за модулем, який дорівнює найменшому спільному кратному чисел m₁ , m₂ , … , т_k ,, тобто, зважаючи на те, що вони попарно взаємно прості, за модулем m₁ m₂ . . . m_k :

f(β) ≡ 0 (modm₁ m₂ . . . m_k );

це означає, що β є також розв'язком конгруенції (1).

Друге твердження випливає з таких міркувань: припустимо, що

х ≡ α_i (modт_і )

є будь-який розв'язок конгруенції

f(x) ≡ 0 (mod т_і ),

тоді завжди можна знайти єдине число x₁ , яке є розв'язком системи лінійних конгруенцій:

х ≡ α₁ (modт₁ ),

х ≡ α₂ (modт₂ ),

……………… (3)

х ≡ α_k (modт_k ).

Це число x₁ визначається за модулем т = m₁ m₂ ... m_k ; воно буде розв'язком системи (2), а отже, і конгруенції (1). Але, комбінуючи кожен розв'язок однієї конгруенції з системи (2) з кожним розв'язком решти конгруенцій, ми, очевидно, дістанемо S₁ ∙S₂ …S_k = S лінійних систем конгруенцій типу (3) і, через те що кожна така система має єдиний розв'язок, який є розв'язком як системи (2), так і конгруенції (1), то цим і доведено другу частину теореми.

Висновок 1. Якщо хоч одна з конгруенцій системи (2) не має розв'язків, то й дана конгруенція (2) також не матиме розв'язків.

Висновок 2. Дослідження і розв'язування конгруенції

f(x) ≡ 0 (mod т),