Реферат: Теорема тейлора

где

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3 . Разложить по степеням z функцию

Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:

Раскладываем элементарные дроби по степеням z :

Для исходной дроби получаем разложение:

или, складывая ряды:

Окончательный ответ:

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f (z ), аналитическая в кольце
r < | z - z ₀ | < R ,
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z ₀ ; в частности,
- окружность

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f (z ).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где
r - радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f (z ) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z ₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z ₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Пример 1. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z .

Решение. Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z ₁ = -1 и z ₂ = 3. Запишем функцию в виде

Кольца аналитичности | z | < 1, 1 < | z | < 3, | z | > 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:

При | z | < 1 имеем:

Таким образом, в круге | z | < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора: