Реферат: Теорема тейлора

Запишем

т.е. z= 0 - устранимая особая точка. Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Вычислить вычет функции

Так как то z = 0 для f (z ) - полюс второго порядка. Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 4 . Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках.

Решение.

В точках данная функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы), поскольку

Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 5 . Вычислить вычет функции

Решение.

Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z = 1:

Из этого разложения следует, что z = 1 является существенной особой точкой и
С _-1 = 3/2, т.е.

Теорема о вычетах ~ Примеры

Теорема (Основная теорема о вычетах).

Если функция f (z - аналитична в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство

где D - односвязная область в комплексной плоскости, - граница D ,
- вычет функции f (z ) в точке z_k .

ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

ПРИМЕР 3. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z ) - i = 0, т.е. точки

Кругу принадлежит только одна из этих точек, точка

Эта точка - простой полюс функции , т.к. она является простым нулем знаменателя.

Вычислим вычет в простом полюсе f (z ):