Реферат: Теорема тейлора

В итоге имеем:

В круге | z | > 3:

В итоге имеем:

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Разложить функцию f (z ) = z ³ ·e ^1/z в окрестности точки z ₀ = 0.

Решение. Из основного разложения получаем

или

Вычет функции ~ Вычисление вычетов

Вычетом функцииf(z) в изолированной особой точке z ₀ (точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида:

где - контур, принадлежащий окрестности точки z ₀ и охватывающий ее. Обход контура - положительный, т.е. область ограниченная им и принадлежащая окрестности z ₀ при обходе расположена слева: обход против часовой стрелки.

Обозначается вычет

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С _-1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z -z ₀ ) для z ₀ , принадлежащей области комплексных чисел:

ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.

Если конечная особая точка z ₀ является устранимой особой точкой функции f (z ), то

ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.

Если z ₀ - полюс порядка n функции f (z ), z ₀ принадлежит области комплексных чисел, то

ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.

Если z ₀ - простой полюс функции ,
где аналитические функции в точке z ₀ и ,
то

ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.

Если z ₀ - существенно особая точка функции f (z ), то вычет в ней находится, исходя из определения, т.е. как С _-1 - коэффициент в разложении f (z ) в ряд Лорана в окрестности z ₀ .

ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.

Пример 1. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z² -2z-3) в точке z = 3.

Решение.

Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:

Из этого разложения находим

Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,