Реферат: Теоретико-ймовірнісні моделі розрахунку ринкової вартості основних типів цінних паперів

Мал . 4 . 1. Взаємозв’язокціниакціїтаціниопціона

Оцінка до закінчення терміну 䳿 опціону .

Розглянемотепервартістьопціонузаодинперіоддозакінченнятермінуйогодії. Дляспрощенняприпустимо, щодіяопціонуможезакінчитисьлишевденьзакінченнядії. Вартістьакціїнамоментзакінченнядіїневідома, ашвидшеєоб’єктомймовірногоаналізу. Доти, покиєхочабякийсьчасдозакінченнятермінуопціону, йогоринковавартістьможебутибільштеоретичною. Причинавтому, щоопціонможемативартістьівмайбутньому. Цепитанняобмірковувалосьповідношеннюдоварранту, томувподальшійдискусіїнемаєнеобхідності. Реальнувартістьопціонуможнавідобразитиперерваноюлінієюнамал. 4.1.

Ціна

опціону

Лінія теоретичної

вартості

3

2

1

Ціна виконання опціону

Мал . 4 . 2. Взаємозв’язокціниакціїтаціниопціонаприрізнихтермінахдії

Вплив терміну 䳿 до закінчення 䳿 опціону . Звичайно, чимбільшийтерміндомоментузакінченнядіїопціону, тимвищайоговартістьпорівнянозтеоретичною. Цеочевидно, томущоопціондовшебудевартісним. Більшетого, чимпізнішехтосьплатитьцінувикористання, тимнижчапоточнавартістьопціону, іце, яснаріч, збільшуєвартістьопціону.

Вмірунаближеннязакінченнятермінуопціонулінія, якапоказуєвзаємнузалежністьвартостіопціонутаакції, стаєбільш «випуклою». Цевідлображенонамал. 4.2. Лінія 1 являєсобоюопціонзкоротшимтерміномдозакінченняйогодії, порівнянозлінією 2, лінія 2 - опціонзменшимтерміномдозакінченнядіїопціонупорівнянозлінією 3.

Вплив змінності . Звичайно, найбільшважливийфактор, щовпливаєнаоцінкуопціону, - цезмінаціниакцій, звязанихзним. Конкретніше, чимбільшаймовірністькрайніхнаслідків, тимбільшавартістьопціонудляйоговласника (приіншихрівнихумовах). Мипередбачаємонаявністьнапочаткуперіодудіїопціонудвохвидівакцій, якімаютьнаступніймовірнірозподілиможливоївартостінамоментзакінченнятермінудіїопціону:

ЙМОВІРНІСТЬ	ЦІНААКЦІЇА дол.	ЦІНААКЦІЇВ дол.
0,10 0,25 0,30 0,25 0,10	30 36 40 44 50	20 30 40 50 60

Очікуванацінаакціївкінціперіодуоднаковадляобидвохвидів - 40 дол. Але, дляакціїВрозбіжністьможливоївартостізначновища. Припустимо, щоцінавикористанняопціонівнакупівлюакційАіВвкінціперіодутакожоднакова, скажімо 38 дол. Такимчином, акціїдвохвидівмаютьоднаковуочікуванувартістьвкінціперіоду, іопціонимаютьоднаковуцінувикористання. ОчікуванавартістьопціонудляакційАвкінціперіоду:

опціонА= 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (44 дол. - 38 дол.)(0,25) + (50 дол. - 38 дол.)(0,10) = 3,30 дол., тодіякакціїВ:

опціонВ = 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (50 дол. - 38 дол.)(0,25) + (60 дол. - 38 дол.)(0,10) = 5,80 дол.

Такимчином, більшарозбіжністьможливоївартостіакційВведедобільшоїочікуваноївартостіопціонунамоментзакінченнятермінуйогодії. Причинакриєтьсявтому, щовартістьопціонівнеможебутивід’ємною. Врезультаті, чимбільшарозбіжність, тимбільшечислопозитивнихнаслідків, вимірянихзаформулоюринковацінамінусцінавикористання. Збільшенняколиваньвартостіакційцимсамимзбільшуютьчислопозитивнихвартостейдляпокупцяопціонуі, значить, збільшеннявартостіопціону.

5. Розрахуноквартостітахедж-стратегійдляопціонівЕвропейськоготипу.

Дискретнийчас

Нагадаємо, щорозглядається( В , S) -ринокоблігаційтаакцій, вар­тістьякихзмінюєтьсязаформулами:

B_t =B₀ (1+a)^t (5.1)

dS_t =S_t (dt+dW_t ) (5.2)

початковізначення—В ₀ таS₀ відповідноіна заданосімействоймовірніснихмірP={P} , причомувідноснокожноїзмірР послідовність( р ₁ , р ₂ , ... , р _N ) — ценезалежніоднаковорозподіленівипадковівеличини

P{p₁ =)=p, P(p₁ =)=q=1-p,

0< р <1, -1 < < a < .

НехайH = ( H _п , 0 п N ) — самофінансованастратегія,

x^H = (, 0 п N) — капітал, щовідповідаєційстратегії,

f_N = f_N ( S ₀ , S ₁ ( ), ... , S_N ( )) —фіксовананевід'ємнафункція. НехайтакожЕ * позна­чаєматематичнесподівання (середнє) відносноміриР * такої, щор =p*= , P(p₁ = )=p*.

Теорема 5.1. Для того , щоб самофінансована стратегія H була мінімальним ( х , f_N )-xe дж e м , необхідно і достатньо , щоб початковий капітал х дорівнював

x = (1+a)^-N E*f_N (S₀ , S₁ (), ... ,S_N ()) (5.3)

Наслідок . Вумовах( В , S ) -ринкусправедливацінаопціонуЄвропей­ськоготипудорівнює

C_N =(1+a)^-N E*f_N ,

деN —фіксованиймоментвиконанняопціону,

f_N = f_N ( S ₀ , S ₁ , ... , S_N ) —фіксованафункціяплатежів. ТутЕ * — математичнесподіваннявідноснотакоїміриР *, що

P* (p₁ = ) = р * = .