Реферат: Теоретико-ймовірнісні моделі розрахунку ринкової вартості основних типів цінних паперів

беретьсязрозкладу:

Y_n = ,

іприцьомузначеннякапіталувмоментчасу t = n дорівнює

= (1 + a)^n-N E*(f_N /F_n ) .

Розглянемотеперчастковийібільшпростийвипадок, колифункціяплатежівf_N залежитьневідвсієї " траєкторії " S₀ , S₁ , ... , S_N , алишевідвартостіакціїS_N вмоментвиконанняопціону, тобтоf_N =f(S_N ) . На­приклад, дляЄвропейськогоопціонукупівлі

f_N =(S_N - k)⁺ = max (S_N - k , 0) ,

адлявідповідногоопціонупродажу

f_N =(k - S_N )⁺ = max (k - S_N , 0) ,

деК — договірнавартість, щоїїобумовленовмо­ментпридбанняопціону, ізаякоювмоментN будутькупуватисяабопродаватисяакції. Вцьомувипадкуможна, задопомогоюбіноміаль­ногорозподілу, безпосередньопідрахуватиЕ * f_N і, такимчином, спро­ститиформулусправедливоїціниопціону:

C_N = (1+a)^-N E*f_N .

Сфор­мулюємовідповіднийрезультатбездоведення. Розглянемофункцію

F_n ( x , p ) = f ( x (1+ ) ^k (1+ ) ^{n - k} ) p^k (1- p ) ^{n - k} (5.4)

( —цечислокомбінаційзnпоk, , = 1).

Теорема 5.2. ДляопціонуЄвропейськоготипузфункцієюпла­тежівf_N = f ( S_N ) маютьмісценаступнітвердження:

1.Справедливацінаопціонудорівнює

C_N =( 1 +a) ^{- N} F_N (S ₀ ,P *),

дер *= ;

2.Існуєсамофінансованиймінімальнийхедж

=( , )=( , , ) ,

причому

= ;

3.Капітал X^ в момент п , 0 <, п < N для мінімального хеджу дорівнює

=(1+a)^n-N F_N-n (S_n , p*) .

Теорема 5.3. Справедлива ціна C_n Європейського опціону купівлі з функцією платежів f(S_N ) = (S_n - К )⁺ дорівнює :

1. C_N =S₀ B(k₀ , N , p) - K(1+a)^-N B(k₀ ,N,p*) ,

де k ₀ =1+ , якщо ;

2. C_N = 0 , якщо k ₀ > N .

Встановимотеперзв'язокміжсправедливоюціноюC_N розгляну­тоговищеопціонукупівлііціноюстандартногоЄвропейськогоопціонупродажузфункцієюплатежівf ( S_N ) = (K-S_n )⁺ . Дляцьогозапишемотакутотожність:

(- x )⁺ = тах (— x , 0) = max ( x , 0) — x = x ⁺ — х ,

звідки( К - S_N )⁺ =( S_N - K )⁺ — S_N + K . ЯкщoпозначитисправедливуцінуопціонупродажучерезP_N , то

P_N = Е * ( К - S_N )⁺ (1 + а )^-N = (1 + а )^-N [E* [ (S_N - K)⁺ -S_N ] + К ] = = (1+a)^-N K + C_N - (1 +a)^-N E*S_N .

ОскількиS_N = S₀ (1+p₁ ) (1+p₂ ) ... (1+ p_N ) , тозважаючинанезалежністьіоднаковурозподіленістьвипадковихвеличинр ₁ , р ₂ ,..., p_N маємо, що

статочно

P_N =(1+a)^-N K + C_n - S₀ .

Цюрівність,щопов'язуєсправедливіціниопціонівкупівлітапро­дажу, називаютьпаритетом "колл-пут" (купівлі-продажу).

6. Прикладироботизопціонами

НехайS_n , 0 n N — цевипадковаеволюціявар­тості100 0 доларівСША (USD), щовимірюєтьсявукраїнськихгривнях (Грн). НехайS ₀ = 5400 гривеньівмоментn = 1 цінаможедорівнювати: S ₁ =

ТодіS ₁ = S ₀ (1+ p ₁ ), звідки1+p₁ = , p₁ = - 1 , тобтовипадковавеличинар ₁ можематидвазначення:

p ₁ =

Нехайбанківськийрахунокнезмінюється: В_п = B ₀ = 1, а = 0 (зфінан­совоїточкизоруцеозначає, щобанкненараховуєпроцентівнавнесокінеберепроцентівзапозику).

1. Розрахунок справедливої ціни . НехайN = 1, К = 5400 Грн , f(S₁ ) = (S₁ - K)⁺ = (S₁ - 5400 )⁺ =max(S₁ -K,0). Цеозначає, щоприпідвищеннікурсудоларапокупецьЄвропейськогоопціонукупівліодержить5700 — 54 00 = 300 Грн , a припадіннікурсу

f(S₁ )=max(0, 5200-5400 )=0 , тобто